同调论(卷名：数学)
homology theory
代数拓扑学中的一个主要组成部分，研究与同调概念有关的课题。
考虑带有方向的曲面（块）与曲线（段），如图1、图2中的圆盘均由旋转箭头定向。圆周Z与Z′是比D与D′低一维的图形，作为曲线，它们各按所标的箭头定向。规定D的边缘为Z，记作嬠D＝Z；对于D′，则应有嬠D′=-Z′。无底圆筒 C与它的上下边界W1与W0按所标箭头定向后有嬠C＝W1-W0（图3）。在图 4环面T中，圆圈Z为曲面块 A的边缘，嬠A＝Z，这时称闭曲线Z在环面T上同调于零，记作Z～0。闭曲线W在T上不同调于零，但嬠B=W-W1，这时称闭曲线W同调于W1，记作W～W1。同调概念就是在这种定向图形之间的边缘关系上建立起来的。
在图5
的曲面S上，α、с、d都不同调于零，b)～0，α不同调于с、d中的任何一个，但с～d。将图6
中圆盘边界上的每一对对径点（诸如A与A′，B与B′）粘合，得到的曲面p叫做射影平面。
与
在p中为同一定向圆圈z。可以看出，在p中有z+z=2z～0，但z不同调于零。H.庞加莱从1895年起，为了对同调概念做一般的讨论，引进了可剖分为复形的空间，从此产生了组合拓扑学。
n维单形 0维单形是一个点，一维单形是一条线段，二维单形是一个三角形，三维单形是一个四面体，n维单形是一个具有n+1个顶点的广义四面体。
定向单形 除0维单形不给定向外，其他维的单形可以有两个定向。例如，一维单形的定向可以用从起点到终点的箭头给出，二维单形的定向可以用一个旋转方向给出(图7
)，等等。一般对于n维单形有两个定向，可以用顶点的顺序来给出它的定向。彼此相差一个偶排列的两个顺序代表同一个定向。例如，线段AB的一个定向可以用(A，B)表示，另一个定向则可用(B，A)表示;三角形ABC的一个定向可用(B，A，C)或(C，B，A)或(A，C，B)表示，另一个定向可用(B，C，A，)或(C，A，B)或(A，B，C)表示。单纯复形 是由有限个单形很好地拼凑起来而组成的。例如，图8
之a这个单纯复形是由4个0维单形A，B，C，D；4个一维单形AB，BD，CD，BC和1个二维单形BCD按照图8之a中所画的关系拼凑而组成的。图8之b这个单纯复形是由6个0维单形A，B，C，A′，B′，C′，12个一维单形AB，BC，CA，A′B′，B′C′，C′A′，B′C，A′C，A′B，BB′，AA′，CC′，6个二维单形AA′B，A′BB′，BB′C，B′CC′，CC′A′，CA′A按照图8之b中所画的关系拼凑而组成的。单纯复形的n维链 形如
的线性组合叫一个n维链，其中{
}取遍单纯复形K的所有单形，且每个单形取好了定向（0维单形不取定向），αi为整数（即线性组合中的每一项是K中的一个n维定向单形，且附一个整系数）。两个n维链之和定义为一个n维链，其每项的系数是两个链的相应项的系数之和。容易验证:K的所有的n维链组成一个交换群，这个交换群叫K的n维链群，记作Cn(K)。例如，图8之a 中的单纯复形，3(A，B)+2(B，C)-(C，D)-5(B，D)为一个一维链;图8之b中的单纯复形，4(A，A′，B)-2(B，B′，C)+(C，A，A′)为一个二维链。边缘算子 规定0维单形的边缘为零，一维定向单形(A，B)的边缘为B-A，二维定向单形(A，B，C)的边缘为(B，C)-(A，C)+(A，B)，三维定向单形(A，B，C，D)的边缘为(B，C，D)-(A，C，D)+(A，B，D)-(A，B，C)，等等。可类似地定义n维定向单形的边缘。以符号嬠写在定向单形的前面表示它的边缘。对于每一个n维链
，规定它的边缘
（即先取它的每一个定向单形的边缘再乘上它的原来系数然后求和）。不难看出，一个n维链的边缘是一个n-1维链。由此得到从n维链群到n-1维链群的同态，这个同态叫做（下）边缘算子，记作嬠:Cn(K)→Cn-1(K)。边缘算子具有嬠嬠=0的性质。n维闭链 满足嬠x=0的n维链x叫n维闭链。例如，图8a中的单纯复形，一维链(C，D)-(B，D)+(B，C)就是一个一维闭链。单纯复形K的所有n维闭链所组成的交换群叫K的n维闭链群，记作Zn(K)。
n维边缘链 如果一个n维链是某一个 n+1维链的边缘，则称此链为n维边缘链（即一个n维图形是n+1维图形的边缘）。例如图8a中的单纯复形，一维链(C，D)-(B，D)+(B，C)=嬠(B，C，D)就是一个一维边缘链。单纯复形K的所有n维边缘链所组成的交换群叫K的n维边缘链群，记作Bn(K)。由于边缘链一定是闭链，因而Bn(K)是Zn(K)的子群。
n维同调群 由于Bn(K)是 Zn(K)的子群，把商群Zn(K)/Bn(K)叫做单纯复形K的n维（下）同调群，记作Hn(K)。Hn(K)中的每一个元素叫做一个n维同调类。如果两个n维闭链zń，z怽的差为一个边缘链时，就叫zń与z怽同调。如果zn是边缘链，则称zn同调于零。例如，图8b中的单纯复形，2个一维闭链(A，B)+(C，A)+(B，C)，(A′，B′)+(C′，A′)+(B′，C′)有嬠((A，B，A′)+(A′，B，B′)+(B，C，B′)-(C，B′，C′)-(C，C′，A′)-(C，A′，A))=((A，B)+(C，A)+(B，C))-((A′，B′)+(C′，A′)+(B′，C′))。因而这两个闭链同调（而它们都不同调于零）。同调群 Hn(K)的秩叫做K的n维贝蒂数。如果在n维链群的定义中，用任意的一个交换群G中的元素代替整数，可以得到以G为系数的n维链群 Cn(K;G)。相似地有以G为系数的n维边缘群Bn(K;G)，n维闭链群Zn(K;G)。由此定义以G为系数的n维同调群Hn(K;G)。
多面体 单纯复形 K的全体单形的并集叫做一个多面体，记作│K│。对于多面体的同调群Hn(｜K｜;G)可以用Hn(K;G)来定义，即令Hn(｜K｜;G)=Hn(K;G)。
单纯映射 给定了两个单纯复形K，L，且指定了K的每一个顶点（0维单形）到L的某个顶点的一个对应，并把K中的属于同一个单形的所有顶点对应到L的同在一个单形中的顶点，这个对应叫从K到L的单纯映射。单纯映射ƒ:K→L把 K中的每一个定向单形(顶点的一个顺序)映射到L中的一个定向单形（得到对应顶点的一个顺序，若有两个顶点的像重合，则理解为对应到0），由此产生了一个从Cn(K;G)到 Cn(L;G)的同态，并且可以证明它把Zn(K;G)映射到Zn(L;G)，Bn(K;G)映射到Bn(L;G)。从这个同态可以导出一个从Hn(K;G)到Hn(L;G)的同态。
连续映射导出的同态 给了两个多面体|K|、|L|之间的一个连续映射F：│K│→│L│，可以将K适当重分成另一复形K′，并用一个单纯映射去逼近F。利用这个单纯映射导出的同调群之间的同态得到Hn(│K′│；G)到Hn(│L│；G)的同态，并且可以证明，Hn(│K′│；G)与Hn(|K|;G)自然地同构。 于是记此同态为Fn：Hn(|K|;G)→Hn(│L│;G)。
上同调群 G为任一交换群，Hom(Cn(K)，G)为所有从Cn(K)到G的群同态所组成的群，这个群叫做K的以G为系数的 n维上链群，记作Cn(K；G)。利用K 的边缘算子嬠:Cn(K)→Cn-1(K)可得对偶同态δ:Cn-1(K;G)→Cn(K;G)。定义如下:设ƒ∈Cn-1(K；G)，规定δƒ=ƒ嬠:Cn(K)→G。这个δ叫上边缘算子，具有δδ=0的性质。与同调群的定义相似，可以定义以G为系数的上闭链群Zn(K;G)，上边缘链群Bn(K;G)，上同调群Hn(K;G)。当G为整数加群Z时，省去符号Z，简单记为 Cn(K)，Zn(K)，Bn(K)，Hn(K)，等等。对于连续映射F：│K│→│L│，利用单纯映射去逼近，可得到同态
。上同调群的构造可以由同调群完全确定。当多面体│K│为定向流形时，同调群和上同调群之间还有对偶关系（流形的庞加莱对偶定理），即Hn(｜K｜;G)同构于Hq-n(│K│;G)，其中q为流形│K│的维数。J.W.亚历山大在1915年证明了多面体的同调群的拓扑不变性，即如果两个多面体│K│，│L│同胚，那么这个同胚诱导它们的上同调群、同调群的同构。实际上，如果│K│，│L│伦型相同，其同伦等价也诱导它们的上同调群、同调群的同构。
利用同调群可以解决不少几何问题。例如，布劳威尔不动点定理（见不动点理论），可以找到欧拉示性数与贝蒂数之间的关系式：
其中αi为复形K的i维单形个数，b)i为多面体│K│的i维贝蒂数，
(K)即K的欧拉示性数。从而证明了欧拉示性数是│K│的拓扑不变量。单纯复形的整系数同调群是个有限生成的交换群。因此，它同构于
，其中Z代表整数加群，θ(1，n)，…，θ(τn，n)为一串自然数，每个可整除后一个，嘰表示直和。前面Z的个数即为n维贝蒂数;后面这串有限群的阶数θ(1，n)，…，θ(τn，n)称为 n维挠系数。确定一个单纯复形（及其多面体）的各维贝蒂数与挠系数，也就算出了同调群。简单的单纯复形的同调群的计算，可以通过叫做“挤到边上去”的方法直观地解决。一般单纯复形同调群的计算，可以用矩阵变换的方法经有限多次的算术运算解决，不过具体实现这种计算是非常困难的。
带系数群G的同调群的构造，可由整系数同调群与G按照“泛系数”公式来求。上同调群的计算也有其相应的公式。
同调论的公理 S.艾伦伯格和N.E.斯廷罗德提出了同调群、上同调群满足的公理，并证明了在多面体的情形下满足公理的同调群、上同调群是惟一的。
在一般的拓扑空间上引进同调群主要有两种方式。利用有序单形映射到拓扑空间，来定义这个拓扑空间的同调群，称为这个拓扑空间的奇异同调群；利用单纯复形来逼近一个拓扑空间，用极限来定义这个拓扑空间的同调群，称为这个拓扑空间的切赫同调群。在紧多面体的情况，这两种同调群都同构于按单纯剖分得到的同调群。
在以某种环为系数的上同调群中可以引入乘法使之成为上同调环。为了更好地利用上同调群，在其上引入了所谓上同调运算的额外结构，例如斯廷罗德幂，庞特里亚金幂等等。由斯廷罗德幂发展成为斯廷罗德代数的研究，大大丰富了同调论的内容。
参考书目
江泽涵著：《拓扑学引论》，上海科学技术出版社，上海，1978。
R.M. Switzer，Algebraic Topology-Homotopy and Homology， Springer-Verlag， New York， 1975.