词条 | 模形式论 |
释义 | moxingshilun 模形式论(卷名:数学) theory of modular form 一种特殊的自守形式的理论。由(J.-)H.庞加莱所发展的一般的富克斯群上的自守形式,是属于单复变函数论的一个课题。由E.赫克所创的模形式是对于模群Sl2(Z)或其他算术群的自守形式,就其内容和方法而言,则应为数论的一部分。它在以后的发展中与椭圆曲线理论、代数几何、表示论等有十分深刻的联系而成为数学中的一个综合性学科。 模形式与很多重要的数学问题有关,在现代数学的发展中占有重要地位。例如,对阿贝尔扩域已建立了完整的类域论而使D.希尔伯特的第9问题得到解决,目前一个非常重要的问题是关于非阿贝尔扩域的类域论的研究,已发现非阿贝尔扩域与模形式之间的内在联系。又如关于希尔伯特第12问题得到对于虚二次域的结论:虚二次域的任一阿贝尔扩域必是该域添加模函数j(z)的某些值所得到的域的子域。著名的高斯猜想即虚二次域的类数问题的解决,也用到了模形式论。 模形式是指满足以下两个条件的函数ƒ(z):①ƒ(z)是上半平面 ![]() ![]() ![]() 上半平面h上的变换 ![]() 全体模形式构成的线性空间记为Mk(Г),它是复数域上的一个有限维向量空间。若以dk表示它的维数,则当k<0,k=2或k为正奇数时,dk=0;当k=0,4,6,8,10时,dk=1;当k≥12,且为偶数时,dk=dk-l2+1。 当k>1时,定义函数 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 令 ![]() ![]() ![]() 当模形式 ƒ(z) 的傅里叶展开式中常数项α0为零时,ƒ(z)称为歧点型模形式。 由墹(z)的乘积表达式可知墹(z)≠0(z∈h)。因此定义函数 ![]() 对于Г 的子群,也可类似地定义模形式。常见的这类子群有 ![]() ![]() 模形式论还可用于把一个整数表成几个整数的平方和的问题。以rs(n)表示把n表成s个整数平方和的所有不同的表法个数,令 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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