词条 | 积分不等式 |
释义 | jifen budengshi 积分不等式(卷名:数学) integral inequality 分析数学中常用到下列积分不等式。 杨不等式 设ƒ(x)是定义在[0, A]上满足ƒ(0)=0的严格单调增加的连续函数,ƒ-1(y)是ƒ(x)的反函数,则对任何 α∈[0,A],b∈[0,ƒ(A)],有 ![]() ![]() 特别,当ƒ(x)=xα(α>0)时,令 ![]() ![]() 赫尔德不等式 设(X,φ,μ)是测度空间(见测度论),E ∈φ,ƒ(x)、g(x)分别在 E上p 次、q次 ![]() ![]() ![]() argƒ(x)g(x)=θ , с1|ƒ(x)|p=с2|g(x)|q在E上几乎处处成立。 由积分的赫尔德不等式立即可得级数的赫尔德不等式:设 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 施瓦兹不等式 赫尔德不等式中用得最普遍的是p=q=2的情况,此时的赫尔德不等式称为施瓦兹不等式,有时也称为柯西不等式或布尼亚科夫斯基不等式。它的积分形式、级数形式分别为 с1ƒ(x)=с2g(x)在E上几乎处处成立和对一切自然数n,с1αn=с2bn。 闵科夫斯基不等式 设(X,φ,μ是测度空间,E∈φ,ƒ(x),g(x)都是E上p次(p≥1)可积函数,则ƒ(x)+g(x)在E上p次可积,并且 ![]() с1ƒ(x)=с2g(x)在E上几乎处处成立;当p=1时,上式中等号成立的充要条件是,argƒ(x)=argg(x)在E上几乎处处成立。 由积分的闵科夫斯基不等式,可得级数的闵科夫斯基不等式:如果 ![]() ![]() 延森不等式 设φ(x)是[α,b]上有限实函数,如果对任何x1,x2∈[α,b]以及任何正数p1、p2,都有 ![]() ![]() 积分形式的延森不等式:设φ(x)是[α,b]上的下凸函数,又设(X,φ,μ)是测度空间,E∈φ,p(x)是E上非负可积函数,并且 ![]() ![]() |
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