点过程(卷名：数学)
point process
描述随机点分布的随机过程。很多随机现象发生的时刻、地点、状态等往往可以用某一空间上的点来表示。例如，服务台前顾客的到来时刻，真空管阴极电子的发射时刻，可表为实轴上的点。又如，天空中某一区域内星体的分布，核医疗中放射性示踪物质在人体器官的各处出现，不同能级地震的发生，都可用二维以上空间的点表示。点过程就是描述这类现象的理想化的数学模型。它在随机服务系统、交通运输、物理学和地球物理学、生态学、神经生理学、传染病学、信息传输、核医疗学等很多方面都有应用。
20世纪60年代以前，点过程的研究着重于一维情形，即实轴上的点过程，方法是比较初等的，内容多为考虑泊松过程的种种推广。以后逐渐扩充到多维及更一般的空间，并与迅速发展的随机测度论及鞅论相结合，无论在内容或方法方面都有了根本性的进展。
一维点过程 在点过程的研究中，一维点过程在理论与应用上都占有重要的位置，它的统计规律可以通过三种不同的方式来描述：①点数性质：设N[s，t)表示落在区间[s，t)上随机点的数目，N(A)表示落在集合A上随机点的数目，令B表示实轴上的波莱尔域（见概率分布，则(N(A)，A∈B)是定义在B上的随机测度，这时它只取非负整数值，称为随机计数测度。若把开始观测的时刻记为t0，则
是一随机过程，称为计数过程。它的概率分布就可以刻画一维点过程。②间距性质：设随机点依次出现的时刻为T1≤T2≤…，取T0=t0，
，n=1，2，…，它们是相邻两随机点的时间间距，于是｛τn｝是一非负随机变量序列。它的概率分布也可用来刻画一维点过程。若｛τn｝相互独立且同分布，则点过程称为更新过程。③平均发生率与发生强度：单位时间(或距离)内随机点的平均出现次数称为平均发生率。确切地说，t时的平均发生率为 
。更本质的概念是发生强度。设｛Ft，t≥t0｝为一给定的非降σ 域族，Ft可以理解为到t时为止过程的历史或某种外部随机因素所产生的事件全体。发生强度一般可定义为
，它不一定存在，如果存在，可能是常数，也可能是t的函数，也可能是一随机过程。如果是一随机过程，则它可能依赖于点过程过去的历史（称为自激点过程），也可能依赖于外部的随机因素（称为重随机点过程）。对于泊松过程，平均发生率与发生强度是一致的。一般点过程的数学模型 设 E为可分完备距离空间（它是普通实空间的推广，见度量空间），E为K上由全体开集产生的σ域。B嶅E是全体有界可测集。μ为定义于(K，E)上的测度，如果当B∈B时有μ(B)<
，则称μ为局部有限测度；如果μ恒取非负整数值或，则称μ为计数测度。以n表示全体局部有限计数测度（局部有限性反映事件的发生不是稠密的）。当α=0，1，2，…，B∈B时，一切形如｛μ：μ∈n，μ(B)≤α｝的 n 的子集产生的σ域记作N。从概率空间(Ω，F，P)到可测空间(n，N)的任一可测映像ξ，称为(K，E)上的点过程。每一ω对应一计数测度ξ(ω，·)∈n，而对每一A∈E，ξ(·，A)为整值随机变量。概率测度P 通过映像ξ诱导出一(n，N)上的一个概率测度
，C∈N，它就是点过程ξ的概率分布。对于点过程，也有相当于一般随机过程的柯尔莫哥洛夫存在定理。简单性、有序性和无后效性 局部有限计数测度μ称为简单的，如果对每一x∈K有μ({x})≤1，以ns表其全体。点过程ξ称为简单的，Pξ（如果ns）=1；称为有序的，如果对任一ε >0，存在K的分割：
，
，i≠j，使
。从有序性可以推出简单性，而对相当广泛的一类点过程二者等价。如果对任何正整数k，任何非负整数l1，l2，…，lk以及任何两两不交集
，有
则ξ称为无后效的。对于一维情形，无后效性等价于独立增量性。特别，泊松过程是有序的无后效点过程。点过程的变换 点过程经不同的变换，可以产生新的点过程或随机测度。主要的有：①一维点过程时间轴的变换:例如非齐次泊松过程(N(t)，t≥0)如具有强度函数λ(t)，令
，则通过变换M(t)=N(Λ-1(t))，t≥0可变为参数为 1的齐次泊松过程。②随机平移：直线上每一随机点作相互独立相同分布的随机平移可得到一新的点过程。例如一个无须等待的服务系统，通过随机平移，可以把描述顾客到来的点过程变为描述顾客离去的点过程，其平移时间即服务时间。③复合：若一维点过程 (N(t)，t≥0) 的每一随机点的出现都联系着另一个随机变量，则它们合在一起就称为标值点过程。例如
，其中Yn是实值随机变量。④稀疏：若点过程的每个点只以一定的概率被观测到（或进行取舍），则所得的点过程称为原过程的稀疏。⑤叠加：把若干个点过程叠加在一起可得到一个新的点过程。例如全部顾客的到来就是其中各类顾客到来的叠加。利用点过程的各种变换，可以从较简单的点过程出发，构造出多种多样的模型，用以描述和研究更复杂的随机现象。无穷可分点过程 点过程的叠加的逆问题是点过程的分解。设ξ为一点过程，如对任一正整数n存在相互独立相同分布的点过程ξ1，ξ2，…，ξn，使ξ与
同分布，则称ξ为无穷可分点过程。利用随机测度理论，无穷可分点过程的表征问题得到了比较彻底的解决。随机测度的收敛与极限问题 相应于测度序列的各种收敛性，可以定义随机测度（随机点过程）的弱收敛、强收敛、淡收敛、依分布收敛等（见概率论中的收敛），并可研究其相互关系，从而进一步研究在一定条件下随机测度序列收敛到某个特殊随机测度的问题。这一类问题与无穷可分点过程理论密切相关。一个有趣的结果是：相互独立的随机点过程的叠加，若满足所谓一致稀疏条件，则叠加过程收敛于泊松过程。它与中心极限定理中独立随机变量的标准化部分和收敛于正态分布的结果相似。类似于特征函数与母函数（见概率分布）在研究随机变量的分布及其极限理论中的作用，对于点过程，也可以定义概率母泛函与拉普拉斯泛函，作为研究其极限问题的重要工具。
点过程与随机几何 60年代后，由于自然科学和其他实际问题的需要，产生了大量与点、线、面等几何元素的随机分布有关的概率问题，它们属于随机几何的范畴。例如，研究细胞核中成对染色体的相对位置，需要求出在两同心圆上均匀分布的两随机点距离的概率分布，由研究声波反射而提出的求平均路长问题等。布丰的投针问题(见概率)可能是最早的这类问题之一，它求出了随机抛一枚针与一组等距离的平行线不相交的概率，从而可以用实验的方法求得圆周率π的近似值。点过程及其进一步的发展还与随机几何相联系，产生了线过程、面过程、超平面过程、随机分叉树等模型，它们又可以经过一定的变换，变为某一流形上的点过程。例如平面上的一条直线，它以与原点的距离及与坐标轴的交角为参数，可以对应柱面上一点，因而平面上的随机线过程可以表为柱面上的随机点过程。
参考书目
P.A.W.Lewis，Stochastic Point Processes: Stochastical Analysis， Theory and Applications， John Wiley & Sons， New York， 1972.
O. Kallenbery，Random Measures， Academic Press， London， 1976.
D.L.斯奈德著，梁之舜、邓永录译:《随机点过程》，人民教育出版社，北京，1982。(D.L.Snyder，Random Point Processes，John Wiley & Sons，New York，1975.)