词条 | 点过程 |
释义 | dianguocheng 点过程(卷名:数学) point process 描述随机点分布的随机过程。很多随机现象发生的时刻、地点、状态等往往可以用某一空间上的点来表示。例如,服务台前顾客的到来时刻,真空管阴极电子的发射时刻,可表为实轴上的点。又如,天空中某一区域内星体的分布,核医疗中放射性示踪物质在人体器官的各处出现,不同能级地震的发生,都可用二维以上空间的点表示。点过程就是描述这类现象的理想化的数学模型。它在随机服务系统、交通运输、物理学和地球物理学、生态学、神经生理学、传染病学、信息传输、核医疗学等很多方面都有应用。 20世纪60年代以前,点过程的研究着重于一维情形,即实轴上的点过程,方法是比较初等的,内容多为考虑泊松过程的种种推广。以后逐渐扩充到多维及更一般的空间,并与迅速发展的随机测度论及鞅论相结合,无论在内容或方法方面都有了根本性的进展。 一维点过程 在点过程的研究中,一维点过程在理论与应用上都占有重要的位置,它的统计规律可以通过三种不同的方式来描述:①点数性质:设N[s,t)表示落在区间[s,t)上随机点的数目,N(A)表示落在集合A上随机点的数目,令B表示实轴上的波莱尔域(见概率分布,则(N(A),A∈B)是定义在B上的随机测度,这时它只取非负整数值,称为随机计数测度。若把开始观测的时刻记为t0,则 ![]() ![]() ![]() ![]() 一般点过程的数学模型 设 E为可分完备距离空间(它是普通实空间的推广,见度量空间),E为K上由全体开集产生的σ域。B嶅E是全体有界可测集。μ为定义于(K,E)上的测度,如果当B∈B时有μ(B)< ![]() ![]() ![]() 简单性、有序性和无后效性 局部有限计数测度μ称为简单的,如果对每一x∈K有μ({x})≤1,以ns表其全体。点过程ξ称为简单的,Pξ(如果ns)=1;称为有序的,如果对任一ε >0,存在K的分割: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 点过程的变换 点过程经不同的变换,可以产生新的点过程或随机测度。主要的有:①一维点过程时间轴的变换:例如非齐次泊松过程(N(t),t≥0)如具有强度函数λ(t),令 ![]() ![]() 无穷可分点过程 点过程的叠加的逆问题是点过程的分解。设ξ为一点过程,如对任一正整数n存在相互独立相同分布的点过程ξ1,ξ2,…,ξn,使ξ与 ![]() 随机测度的收敛与极限问题 相应于测度序列的各种收敛性,可以定义随机测度(随机点过程)的弱收敛、强收敛、淡收敛、依分布收敛等(见概率论中的收敛),并可研究其相互关系,从而进一步研究在一定条件下随机测度序列收敛到某个特殊随机测度的问题。这一类问题与无穷可分点过程理论密切相关。一个有趣的结果是:相互独立的随机点过程的叠加,若满足所谓一致稀疏条件,则叠加过程收敛于泊松过程。它与中心极限定理中独立随机变量的标准化部分和收敛于正态分布的结果相似。类似于特征函数与母函数(见概率分布)在研究随机变量的分布及其极限理论中的作用,对于点过程,也可以定义概率母泛函与拉普拉斯泛函,作为研究其极限问题的重要工具。 点过程与随机几何 60年代后,由于自然科学和其他实际问题的需要,产生了大量与点、线、面等几何元素的随机分布有关的概率问题,它们属于随机几何的范畴。例如,研究细胞核中成对染色体的相对位置,需要求出在两同心圆上均匀分布的两随机点距离的概率分布,由研究声波反射而提出的求平均路长问题等。布丰的投针问题(见概率)可能是最早的这类问题之一,它求出了随机抛一枚针与一组等距离的平行线不相交的概率,从而可以用实验的方法求得圆周率π的近似值。点过程及其进一步的发展还与随机几何相联系,产生了线过程、面过程、超平面过程、随机分叉树等模型,它们又可以经过一定的变换,变为某一流形上的点过程。例如平面上的一条直线,它以与原点的距离及与坐标轴的交角为参数,可以对应柱面上一点,因而平面上的随机线过程可以表为柱面上的随机点过程。 参考书目 P.A.W.Lewis,Stochastic Point Processes: Stochastical Analysis, Theory and Applications, John Wiley & Sons, New York, 1972. O. Kallenbery,Random Measures, Academic Press, London, 1976. D.L.斯奈德著,梁之舜、邓永录译:《随机点过程》,人民教育出版社,北京,1982。(D.L.Snyder,Random Point Processes,John Wiley & Sons,New York,1975.) |
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