共轭梯度法(卷名：数学)
conjugate gradient method
又称共轭斜量法，是解线性代数方程组和非线性方程组的一种数值方法，例如对线性代数方程组
A尣＝ƒ， (1)式中A为n阶矩阵，尣和ƒ为n维列向量，当A对称正定时，可以证明求(1)的解尣*和求二次泛函
(2)的极小值问题是等价的。此处(尣，у)表示向量尣和у的内积。由此，给定了初始向量尣
，按某一方向去求(2)取极小值的点尣
，就得到下一个迭代值尣，再由尣出发，求尣
等等，这样来逼近尣*。若取求极小值的方向为F在尣
(k＝1，2，…)处的负梯度方向就是所谓最速下降法，然而理论和实际计算表明这个方法的收敛速度较慢，共轭梯度法则是在 尣处的梯度方向r和这一步的修正方向p所构成的二维平面内，寻找使F减小最快的方向作为下一步的修正方向，即求极小值的方向p
（其第一步仍取负梯度方向）。计算公式为
再逐次计算
(k=1，2，…)。可以证明当i≠j时，
从而p
，p
形成一共轭向量组;r
，r
，…形成一正交向量组。后者说明若没有舍入误差的话，至多 n次迭代就可得到(1)的精确解。然而在实际计算中，一般都有舍入误差，所以r
，r
，…并不真正互相正交，而尣
尣
，…等也只是逐步逼近(1)的真解，故一般将共轭梯度法作为迭代法来使用。近来在解方程组(1)时，常将共轭梯度法同其他一些迭代法结合作用。特别是对病态方程组这种方法往往能收到比较显著的效果。其方法是选取一对称正定矩阵 B并进行三角分解，得B=LLT。将方程组(1)化为
hу＝b， (3)此处y＝lT尣，b＝l-1ƒ，h＝l-1Al-T，而
。再对(3)用共轭梯度法，计算公式为
(k=0，1，2，…)适当选取B，当B 很接近A时，h的条件数较之A大大减小，从而可使共轭梯度法的收敛速度大为加快，由一些迭代法的矩阵分裂A=M -N，可选取M 为这里的B，例如对称超松弛迭代(SSOR)，强隐式迭代(SIP)等，这类方法常称为广义共轭梯度法或预条件共轭梯度法，它也可用于解代数特征值问题。
参考书目
冯康等编：《数值计算方法》，国防工业出版社，北京，1978。