量纲和量纲分析(卷名：物理学)
dimension and dimensional analysis
人们通过定义各种物理量定性和定量地描述物理现象，确定物理系统所处的状态。任一物理量的定义给出被定义量与有关量之间的关系。物理量之间的有规律联系还通过描述自然规律的各种定律表示出来。因此当一个单位制的基本量确定后，其他的物理量就可以通过既定的关系或定律，定义为用基本量表示的导出量，并通过代数式表示为基本量的幂次乘积。例如力学中常用的MKS和CGS单位制，基本量都是长度L、质量M和时间T，而速度、加速度和力等力学量就是分别通过它们的定义式和牛顿运动定律定义的导出量。而国际单位制(SI)有七个基本量：长度L、质量M、时间T、电流I、温度Θ、物质的量N和光强度J。
量纲 将一个物理量Q表示为基本量的幂次之积(忽略其矢量或张量特性，以及包括正负号在内的所有数字因素)的表达式
， (1)称为该物理量对选定的一组基本量的量纲积或量纲。幂次指数α、β、γ、δ、ε、ζ和η称为量纲指数。七个基本量的量纲分别为L、M、T、I、Θ、N和J，称为该单位制的基本量纲。下表列出了写成式 (1)形式的一些物理量的量纲，其中1表示无量纲。
由于选取的基本量不相同，同一个物理量在不同的单位制里的量纲可以互不相同。这在电磁学中是常有的。例如高斯单位制中的基本量是长度、质量和时间，而电磁学的MKSA制中的基本量是长度、质量、时间和电流。因此，在高斯单位制里电量q的量纲dim
，而在MKSA制中，电量的量纲dimq＝IT。物理量的量纲积(1) 可以用来作不同单位制之间的单位换算。如力学中常用的MKS制和CGS制的基本量相同，但基本量的单位不同:MKS制的基本量单位为米(m)、千克(kg)和秒(s);CGS制的基本量单位为厘米(cm)、克(g)和秒(s)。则由力的量纲dimF=LMT-2可知，从CGS制变换到MKS制时， 因基本量L和M的单位分别增为102和103倍，故MKS制中力的单位牛顿应为 CGS制中力的单位达因的105倍。
物理量之间的一定组合，使其量纲积内基本量的量纲指数均为零，称为无量纲积或无量纲物理量，有时也称为量纲为1的量。例如应变dl／l的量纲dim(dl／l)=LL-1=1;雷诺数Re=vlρ/μ，其中v、ρ、μ分别是流体的速率、密度和粘滞率；l是物体或容器的特征线度，显然有
dimRe＝LT-1·L·ML-3·M-1LT=M0L0T0=1
无量纲量的量纲为1，所以它的数值与所选用的单位制无关，用纯数表示。
量纲分析 任一合理构成的物理方程中的各项，都具有相同的量纲。如自由落体距离
(2)其中v0是初速，g是重力加速度，t是时间。确实，方程(2)中的三项的量纲都是L，这样的方程称为具有量纲一致性。显然，量纲一致的方程的形式，不会因基本量的单位不同而改变。量纲分析的基本定理是Pi定理（π定理），它表述为：若有一量纲一致的方程，其中包含由r个独立的基本量所定义的n个物理量，则此方程必可导致一个包含有(n-r)个独立的无量纲乘积之间的关系式。这就是说，设有一个包含n个变量A的量纲一致的方程为
F(A1，A2，…，An)=0， (3)必可得一个包含k=n-r个独立的无量纲积的关系式
f(π1，π2，…πk)=0。 (4)
以式(2)为例，根据Pi定理，导致一个联系两个独立的无量纲积
和
之间的关系式： 
。这两个无量纲积是独立的，因为它们中的一个，不能由另一个导出：由变量s、v0、g、t可以组成的其他无量纲积都可以由这两个无量纲积导出。在量纲分析中把具有这种性质的一组无量纲积称为完全系。下面以单摆振荡为例，说明量纲分析的应用。在单摆振荡这一力学现象中，描述振荡规律的运动方程中应包含以下物理量：振荡周期t，摆杆长l，重力加速度g和摆角α。故与式(3)相对应有
F(t，l，g，α)=0。 (5)则根据Pi定理，k=2，即应有两个独立的无量纲积。注意到式(5)中四个物理量的量纲分别为dimt呏T，diml呏L，dimg呏LT -2，dimα呏1，则两个无量纲积应为：π1=gt2/l，π2=α。故与式(4)相应有
。 (6)式(6)可改写为
或 
(7)其中只有 嗘(α)是一个未确定的函数。故可得到结论，当摆角α一定时，振荡周期与摆杆长的平方根成正比。若只讨论小α角的情况，显然α角不再是重要的变量。由三个量l、g和t只能组成一个无量纲积t2g/l，故得
或
。 (8)正确的力学计算表明，常数 a=2π。这就是说，简单的量纲分析可以导致一个正确的常数乘因子的解。由单摆振荡的量纲分析还可看出，摆的质量m对振荡周期没有影响，因为与振荡过程有关的物理量的量纲式中，无一是包含质量量纲M的。这就是说，不可能在力学量t、l、g和m的基础上，建立一个量纲一致的方程。
上列分析中，完全忽略了空气的粘滞阻力和轴承内的摩擦阻力对振荡过程的影响，若只讨论空气粘滞阻力引起的振荡衰减，在运动方程中将多出一个物理量空气的粘滞率μ。如前所述μ的量纲为ML-1T-1，则根据Pi定理，无量纲积的关系式为
。 (9)应用量纲分析于单摆振荡的例子表明，从研究一个过程中各个物理量的量纲及其间的关系，可以推导出必须加于这些物理量的某些限制，这是量纲分析的主要用途。这种方法既普遍又简单，但它不能给出完全确定的解。在一些较为复杂的包含很多物理量的过程中，例如在流体动力学和换热换质理论中遇到的一定形状的物体在连续媒质中运动所受到的阻力，或物体运动过程中放出的热量等问题，有的不能从数学上严格求解，有的甚至列不出确切描述这一过程的方程。量纲分析得出的变量之间必须遵守的关系式，可以减少问题的不确定因素。在此基础上，应用相似性理论，通过模型试验，确定关系式的一般函数形式，有很大的实际意义。
参考书目
E.Buckingham，Phys. Rev.， Vol.4，No.4，p.32，1914.
E.Isaacson and M.Isaacson，Dimensional Methods in Engineering and Physics， Arnold， London， 1975.