词条 | 自由边界问题 |
释义 | ziyou bianjie wenti 自由边界问题(卷名:数学) free boundary problem 一个偏微分方程的定解问题,若其定解区域的部分边界是待定的,它和定解问题的解彼此相关且必须同时确定。这类定解问题,人们称之为自由边界问题,其待定边界称为自由边界。在自由边界上,除了需要给定通常的定解条件以外,还必须增加一个边界条件。所有自由边界问题都是非线性问题。 斯蒂芬问题是一个考虑到相转换的热传导问题。以一维的冰-水的热传导问题为例,假设u1、u2分别表示水温和冰温,x=h(t)表示相截面(自由边界),在它上面的水温和冰温为已知,且满足热平衡条件; ![]() ![]() ![]() ![]() 关于斯蒂芬问题的系统理论研究是从20世纪40年代开始的。迄今对一维问题已有较完整的成果,如广义解和古典解的存在惟一性,自由边界x=h(t)的无穷次可微性,以及在适当条件下自由边界x=h(t)的凸性、解析性和渐近性等。对多维问题,一般不存在整体古典解,除了已经知道广义解的存在惟一性和连续性以外,其他方面还在研究。 自由边界除了表现为相截面以外,也可以被定义为解与某一已知函数的分离集(或重合集)的边界。 考虑在外力作用下绷在已知障碍上的膜平衡问题。设u是膜在垂直方向的位移,则由最小势能原理,u∈K,它使下述泛函取极值: ![]() ![]() ![]() ![]() 自由边界问题的研究有着广泛的实际背景。除了上述两类自由边界问题,在渗流力学、等离子物理、塑性力学、射流等方面都提出了各种不同形式的定常和不定常自由边界问题。 |
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