词条 | 绝对形 |
释义 | jueduixing 绝对形(卷名:数学) absolute figure 通常理解为射影空间(或平面)中一个二次曲面(或曲线),它确定射影几何的某个子几何的图形性质。 扩大欧氏平面上的绝对形 设在扩大欧氏平面上引进齐次坐标(x0,x1,x2),(见射影几何学),并假定x0,x1,x2是复数,这样的欧氏平面叫做复欧氏平面。当比值x0:x1:x2都是实数时,(x0,x1,x2)代表实点,否则代表虚点。平面上任意圆 ![]() 一条经过I1或I2的非无穷远直线的斜率依次是-i或i,这样的直线叫做迷向直线,平面上一切迷向直线构成分别以I1与I2为中心的两个平行线束。容易验证:①在迷向直线上,任意两点的距离是零(根据通常的欧氏平面距离公式);②每一条迷向直线相对于任意其他(非无穷远)直线都有相同的斜率。 已给平面上经过一个非无穷远点P的两条直线α,b,设它们的斜率依次是λ,μ,再设m1,m2为经过P的迷向直线,则交比 ![]() ![]() ![]() 另一方面,不难验证,平面上一个实射影变换为相似变换的一个充要条件是:它把点偶I1,I2变成自己。用解析方法表示,这就是令 ![]() 经过一个正常相似变换,式(1)左边的θ不变,但相似变换是特殊射影变换,因而经过它,式(1)右边的交比不变。式(1)表达了两个不变量之间的关系。 全等变换的另一个基本不变量是距离。可以证明,两点间的距离也可以通过这两点和无穷远圆点之间的射影关系表达。 式(2)则可以看作无穷远圆点I1,I2的点坐标方程,以I1,I2为中心的线束偶的线坐标方程是 ![]() ![]() 扩大欧氏空间的绝对形 在扩大欧氏空间,一切球面都和无穷远平面交于一条虚迹二次曲线 ![]() ![]() 一个非无穷远实平面和无穷远圆的两个交点就是该平面上的无穷远圆点(该平面上的绝对形)。于是根据上节所说,空间的两条直线间的角和两点间的距离也都可以依次通过这两条直线和两点同它们同绝对形(4)或(5)之间的射影关系表达。 非欧空间的绝对形 两种非欧几何以及闵科夫斯基几何都是射影几何的子几何,在其相应的空间里也都分别有其绝对形。 例如椭圆空间,双曲空间和闵科夫斯基空间的绝对形依次是 ![]() ![]() ![]() 到n维的推广 一般地,在n维射影空间Pn里取一个二次超曲面 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 进一步的推广 设G 为作用于空间S 的一个变换群, ![]() ![]() ![]() ![]() 参考书目 孙泽瀛著:《近世几何学》,高等教育出版社,北京,1959。 |
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