词条 | 丢番图逼近 |
释义 | Diufantu bijin 丢番图逼近(卷名:数学) Diophantine approximation 数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。数的有理逼近问题,可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程,因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。 1842年,P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q,满足两个不等式:1≤q≤Q和|αq-p|≤Q-1。由此可得,如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q,满足不等式|α-p/q|<q-2。当α是有理数时,上式不成立。 1891年,A.胡尔维茨将上式改进为 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 丢番图逼近与连分数有密切联系。一个数的连分数展开,往往就是具体构造有理逼近解的过程。例如,对于任意无理数α,有无穷多个渐近分数pn/qn,满足不等式 ![]() 1844年,J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究,他证明了:如果α是次数为d的实代数数,那么存在一个常数C(α)>0,对于每个不等于α的有理数p/q,有|α-p/q|>C(α)/qd。亦即如果μ>d,那么不等式|α-p/q|<q-μ只有有穷多个解p/q。根据这一结果,刘维尔构造出了历史上的第一个超越数 ![]() ![]() ![]() ![]() 对于一组数的有理逼近问题,称之为联立丢番图逼近。狄利克雷关于联立逼近有如下论断:如果α1,…,αn是n个实数,Q>1是整数,那么存在一组整数q,p1,…,pn满足不等式组 ![]() ![]() 关于实代数数的联立有理逼近,直到1970年才由W.M.施密特彻底解决。他证明了:如果α1,…,αn是实代数数,并且1,α1,…,αn在有理数域上线性无关,那么对任意的δ>0,只有有限多个正整数q使得 ![]() ![]() ![]() ![]() 用代数数逼近代数数,也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》(1980)一书中,有详细的论述。 自20世纪以来,丢番图逼近除自身的发展外,在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。 参考书目 J. W. S.Cassels,An Introduction to Diophantine ApproxiMation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957. |
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