置换群(卷名：数学)
permutation group
由置换组成的群。n 元集合
到它自身的一个一一映射，称为Ω上的一个置换或 n元置换。Ω上的置换σ可表为
或简记为
，其中i1，i2，…，in是1，2，…，n的一个排列，α
是 αk在置换σ下的像。有时也把α 在σ下的像记为ασ。根据映射的乘法可以定义Ω上任意两个置换σ与τ的乘积στ为
。对于这样定义的运算，Ω上全体置换所组成的集合Sω成一个群，称为Ω上的对称群或n元对称群，简称对称群，其阶为 n!。对称群的子群称为Ω上的置换群或简称置换群。当Ω＝{1，2，…，n}时把Sω 记为Sn。较置换群更为一般的概念，有所谓的作用。作用 G是一个群，Ω是一个非空集合。G中每个元素g都对应Ω的一个映射：x→xg，x∈Ω，若满足：①
；②xe=x（e是G的单位元素），则称G作用于Ω上。G作用于Ω上的充分必要条件是，G同态于Ω上的一个置换群。设G是Ω上的一个置换群，H是Γ上的一个置换群。如果存在Ω到Γ上的一个一一对应ρ，以及G到H上的一个一一对应φ，使得对Ω中任一个点α及G中任一个置换g都有
，那么G与H 称为置换同构的。两个置换同构的置换群一定是同构的。但是同构的置换群不一定是置换同构的。如果 Ω与Γ都是n元集合，那么Sω与Sг是置换同构的。因此，n元对称群都与Sn置换同构。
设σ是Ω上一个置换，若Ω中一些点α1，α2，…，αs使得
而σ保持Ω中其余的点不动，那么σ称为一个轮换，记作(α1，α2，…，αs)。若两个轮换没有公共的变动点，则称这两个轮换是不相交的。每一个置换都可表为不相交轮换的乘积，称为置换的轮换表示法，而且除表示式中轮换的次序以外，置换的轮换表示法是惟一的。两个点的轮换称为对换。任一置换都可表为一些对换的乘积，表示法不是惟一的，但是表示式中对换个数的奇偶是惟一确定的。若σ可表成偶数个对换的乘积，则称σ为偶置换。若σ可表成奇数个对换的乘积，则称σ为奇置换。
Sω中全部偶置换组成Sω的一个正规子群，称为n元交错群，简称交错群，记作Aω。Sn的交错子群记作An。n元交错群都与An置换同构。当n≥2时，An的阶为n!/2。当n≠4时，An是单群，这是一类很重要的有限单群。
置换群是有限群的一类重要例子，有限群的研究是从置换群开始的。置换群的重要性还在于下述事实。
凯莱定理 任一有限群都与其元素的一个置换群同构。
区及轨道 设G是Ω上一个置换群，墹是Ω的一个子集，g是G中任一元素，用墹g表示墹在g下的像集
。若对于G中任一元素 g都有墹g=墹，或
，则称墹是一个区。空集═以及Ω都是区，称为平凡区。其余的区称为非平凡区。两个区的交仍是区。若对G中任一元素g，都有墹g=墹，则称 墹是G的一个不变区。Ω及═都是不变区。不变区的交仍是不变区。
设墹是G的一个不变区，如果对墹中任意两个点α、β都有G中一个元素g使得αg=β，那么墹称为G 的一个轨道（或传递集）。如果墹是G 的一个轨道，那么，任取墹中一个点α，都有
。而且，G 的任一个轨道都可这样得到。如果墹及Γ是G 的两个轨道，那么墹=Г 或墹∩Г＝═。因此，Ω分成G 的一些两两不交的轨道之并。轨道中元素的个数称为轨道的长度。稳定子群 设G是一个n元置换群，作用于Ω上。取定Ω中一个点α，
是G 的一个子群，称为G 对α 的稳定子群。如果
，并设
(通常取恒等置换作为g1)，那么
。因此，|G|=｜Gα｜｜αG｜，所以G 的轨道的长度一定能整除G 的阶。如果对任一α∈Ω，都有Gα={e}，则称G是半正则群。此时，G的任一轨道长都等于｜G｜。
稳定子群的概念还可以推广到多个点的情形。取定Ω中k个点α1，α2，…，αk，则
是G的一个子群，称为G对α1，α2，…，αk的稳定子群。显然有
。传递性 设G是Ω上一个置换群。若对任意α，β∈Ω，都可找到g∈G，使得αg=β，则称G在Ω上是传递的；否则，称G是非传递的。G是传递群当且仅当Ω是 G的一个轨道。因此，若G是传递群，则｜Ω｜是｜G｜的一个因子。若G是传递群，且｜Ω｜=｜G｜，则称G是一个正则群。正则群就是传递的半正则群。
若在一个非正则传递群G中，每个非单位元素最多保持一个文字不变，则G 称为弗罗贝尼乌斯群。在弗罗贝尼乌斯群G中，没有不变文字的置换与恒等置换一起构成一个正则群R，R是G 的一个特征子群。
若对于Ω中任意两个k元有序点组α1，α2，…，αk及β1，β2，…，βk，都有G中一个置换g使
，则称G是一个 k重传递群或 k传递群。k重传递群一定是(k-1)重传递的。如果k≥2，那么k重传递群称为多重传递群，否则称为单传递群。如果G是Ω上一个传递群，那么当且仅当Gα在Ω-{α}上(K-1)重传递群时，G是k重传递的。k重传递的n元置换群G 的阶可被n(n-1)…(n-k+1)整除。若G 的阶恰等于n(n-1)…(n-k+1)，则称G是一个精确 k重传递群。此时，对于Ω中任意两个k元点组α1，α2，…，αk;β1，β2，…，βk，在G中恰有一个g使α
=βi，i=1，2，…，k。对称群Sn是 n重传递的，交错群An是n-2重传递的。除去Sn及An外，有无穷多个3重传递群，但是只知道4个4重传递群，它们是法国数学家 É.L.马蒂厄在1861年及1873年先后发现的次数分别为11，12，23及24的马蒂厄群M11，M12，M23，M24，其中M12及M24是5重传递的，而且M11是M12的稳定子群，M23是M24的稳定子群，它们的阶分别是
。M11及M12都是精确传递群。在1981年有限单群分类的问题解决以后，所有双重传递群已被决定，并且知道没有传递重数大于或等于6的传递单群，而交错群与上述4个马蒂厄群是仅有的4重传递的单置换群。M23的稳定子群是M22，也是一个单群，这5 个马蒂厄群是最早发现的不属于有限单群的无穷系列的5个零散单群。
秩 设G是Ω上的一个传递置换群，α∈Ω，G对α的稳定子群Gα作为Ω上的置换群，其轨道（包括平凡轨道{α}）数称为G的秩。显然，当且仅当G的秩等于2时，G是双传递的。秩为 3的单传递群是一类很重要的单传递群，在26个零散单群中，有8个是作为秩是3的置换群构造出来的群。
本原性 设G是Ω上一个传递群，若G没有非平凡区， 则称G是一个本原群，否则称为非本原群。多重传递群一定是本原群，Ω上传递群G是本原群的充分必要条件为其稳定子群Gα(α∈Ω)是G的极大子群。如果Ω上一个置换群G是k重传递的，并且对k-1个点的稳定子群在其余的点上是本原的，那么G称为k重本原的。
k重集传递性及半传递性 比k重传递性较弱的一个概念是k重集传递性。设G是Ω上一个置换群，若对于Ω的任意两个k元子集Δ、Γ都可找到 G中一个元素g 使得Δg=Γ，则称G是k重集传递的。传递性的另一个推广是所谓半传递性，若G的轨道长都相等且大于1，则G称为半传递的，或
重传递的。置换群的一个古老而有意义的问题，是找出全部互不置换同构的置换群。至今，已找出次数小于或等于11的全部置换群。所谓置换群的次数，即这个置换群所有实际变动的点的个数。当12≤n≤15时找出了全部n次传递群。而当n较大时，仅对n≤50找出了全部n次本原群。
参考书目
H.Wielandt，Finite Permutation Groups， AcademicPress， New York，1964.
D.Passman，Permutation Groups， Benjamin， New York，1968.
B.Huppert and N.Blackburn，Finite Groups， Vol.3，Springer-Verlag， Berlin，1982.