词条 | 黎曼曲面 |
释义 | LiMan qumian 黎曼曲面(卷名:数学) Riemann surface B.黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说,黎曼曲面就是连通的一维复流形。黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论的基本问题之一,而且与众多的现代数学分支有紧密联系,如多复变函数论、复流形、代数几何、代数数论、自守函数等。 单值解析函数的反函数可以是多值的。例如,幂函数和指数函数的反函数为根式函数和对数函数,它们都是多值的。另外,从一个解析函数元素出发沿一个闭曲线作解析开拓,最后可能得到不同的元素。因此,完全解析函数往往是多值的。在研究多值函数时,人们先把它分解为一个个单值解析分支,然后按这些分支之间的关系把它们连接起来。 为研究 ![]() ![]() 就得到 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 把 ![]() ![]() 一个完全解析函数或完全解析构形,把其中以z0为中心的函数元素看作放在z0上的点,自然就成了扩充平面的覆盖曲面,这就是它的黎曼曲面。一个代数函数w=w(z)的黎曼曲面是扩充平面的n叶覆盖曲面(n为对应的方程中w 的最高次数)。例如, ![]() (C.H.)H.外尔首先给出黎曼曲面的近代定义。与此同时,他也给出了“流形”这个近代数学的基本概念的严格定义。按照外尔的观点,黎曼曲面就是一维的复流形。在一个曲面(局部与欧氏平面同胚的、连通的豪斯多夫空间) 上,定义了一族局部参数(曲面的某一个开集上的一个连续单叶复值函数,也叫局部坐标),若在任意两个相邻的局部参数的定义域的公共部分上,其中的一个参数作为另一个参数的函数是解析的,并且这些参数的定义域覆盖了整个曲面,那么,这个曲面连同这族局部参数(叫做共形结构)就构成了一个黎曼曲面。复平面C或者C上任一个区域按其自然参数都是黎曼曲面。在扩充复平面╦上,除了在C上已有一个自然参数外,再在区域{z││z│>0}(包括无穷远点)上令 ![]() 由紧曲面作成的黎曼曲面叫做闭黎曼曲面,否则就叫做开黎曼曲面。若一个闭曲面(或开曲面)上的一维同调群(或模理想边界的一维同调群)的秩是2g,则称g (非负整数或无穷)为此黎曼曲面的亏格。开曲面的亏格可能为无穷。两个黎曼曲面称为是共形等价的,如果存在一个从一个曲面到另一个曲面上的一一的解析映射(共形映射)。同一个亏格g(g>1)的闭黎曼曲面的所有共形等价类组成所谓模空间。黎曼首先发现,模空间中的元素由3g-3个复参数确定。从模空间的研究中产生出丰富多采的泰希米勒空间的理论。 人们还把开黎曼曲面作了分类。不存在非常数的负次调和函数的开曲面叫做抛物型曲面,其他的开曲面就叫做双曲型曲面。抛物型曲面所成的类用OG表示。不存在非常数的有界解析或调和函数,狄利克雷积分为有穷的解析或调和函数,或正调和函数的开曲面分别组成类OAB或OHB,OAD或OHD,或OHP。在这些曲面类之间存在如下的包含关系: 按照黎曼本人的原始概念,黎曼曲面是╦ 的覆盖曲面。所谓曲面愞 是曲面F的覆盖曲面,是指存在曲面愞到曲面F里的映射ƒ,对于每一个慉 ∈愞,都存在慉和ƒ(慉)∈F的开邻域 ![]() ![]() ![]() ![]() 在一个曲面上有相同的起点和相同的终点的两条曲线(连续曲线)уi:t→φi(t)(0≤t≤1,i=1,2) 称为是同伦的,如果存在到这个曲面里的连续映射(t,u)→φ(t,u)(0≤t≤1,0≤u≤1),使得φ(t,0)呏φ1(t),φ(t,1)呏φ2(t),φ(0,u)呏φ1(0),φ(1,u)呏φ1(1)。曲面上固定端点的闭曲线组成的所有同伦等价类以曲线的连接作为乘法运算组成一个群,叫做曲面关于这个定点的基本群。关于不同点的基本群是互相同构的。基本群只包含一个元素的曲面叫做单连通曲面。 没有枝点的覆盖曲面叫做光滑覆盖曲面。设ƒ使愞成为F 的光滑覆盖曲面。若у=ƒ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 单连通的正规覆盖曲面叫做万有覆盖曲面。对于任意的一个曲面F,它的万有覆盖曲面愞总是存在而且在共形等价的意义下是惟一的。当F是一个黎曼曲面时,可使愞也成为一个黎曼曲面,而投影ƒ是解析映射。著名的单值化定理称:单连通的黎曼曲面一定共形等价于 ╦(闭)、C(抛物型)或单位圆(双曲型)。若愞=╦,则F=╦。如果愞 =C,则F =C,C \\{0}, 或是环面(环面就是亏格为1的闭曲面;反过来, 环面的万有覆盖(黎曼)曲面一定是C)。当愞是单位圆时,所有满足ƒ。φ=ƒ 的共形映射φ(叫做覆盖变换)组成一个富克斯群。因此,除去上面几种特例外,每一个黎曼曲面都可表示成单位圆关于一个富克斯群的商;因而,分式线性变换组成的间断群(即克莱因群,包括富克斯群)的理论和黎曼曲面理论有紧密的联系。若这里的F是完全解析函数w=g(z)的黎曼曲面,则G(ƒ(t))和Z(ƒ(t))(t∈╦,C,或单位圆)都是半纯函数,多值函数w=g(z)经参数t(叫做单值化参数)单值化了。从而就解决了著名的希尔伯特第22问题即单值化问题。 在一个黎曼曲面上,若对每一个局部参数z都定义了一个微分ƒ(z)dz(ƒ(z)是半纯函数), 而与相邻的两个参数z和ζ 对应的ƒ(z)dz和φ(ζ)dζ 满足关系ƒ(z(ζ))·z′(ζ)=φ(ζ),则称在曲面上定义了一个半纯微分。半纯函数(或半纯微分)在某一点的零点或极点的级等于在取定一个局部参数后该函数(或该微分在这个参数下的表示形式中的系数)作为这个局部参数的函数在该点的零点和极点的级。黎曼-罗赫定理称:在一个亏格为g的闭曲面上,指定了点p1,p2,…,ps;q1,q2,…,qt和正整数k1,k2,…,ks;n1,n2,…,nt,令 ![]() ![]() 参考书目 H.Weyl.Die ldee der RieMannschen Fiche,Teubn-er,Leipzig,1913. G.Springer,lntroduction to RieMann Surfaces,Addison-Wesley, Reading, Mass.,1957. L. V. Ahlfors and L. Sario,RieMann Surfaces,Princeton Univ. Press, Princeton, 1960.
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