出处：数理化力学卷 • 数 学 • 计算数学
牛顿法
牛顿法 一种求光滑函数零点的常用方法。若要求一个光滑函数f(x)的零点,可以先取一个试验值x0 ,若f(x0 )=0,则x0 即为所求,否则可按下式迭代: x k+ 1 =x k -f(x k )/f'(x k )(k=1,2,…) x k 即为近似根。这种迭代方法就称“牛顿法”。苏联数学家康托洛维奇将此法推广到算子方程求解,并给出优美的收敛性定理。
牛顿法 ❶在搜索区间上逐次构造新的与所寻求函数相应的二次函数,并且用一系列二次函数的极小点逐步逼近原寻求函数极小点的方法。设f(t)是区间[a,b]上的单谷函数,且在所讨论的点t=t k 处,能够算出。f(t k )、f'(t k )和f″(t k )(f″(t k )>0)构造二次函数
, 使它在t k 处的函数值、一阶导数和二阶导数与原寻求函数在t k 处的值相等。于是,可以用新函数φ(t)的极小点t k+ 1 作为原寻求函数极小点的近似值,其迭代公式是:
。 其中t k+ 1 与f(t k )的值无关。若这个近似值不满足预先提出的精度要求,则在t k+ 1 处再构造一个二次函数,并求其极小点,如此逐步逼近原寻求函数f(t)的极小点,直至达到某一精度要求为止。这个方法的收敛速度相当快,但要求序列{f'(t)}收敛于零。
❷“修正牛顿法”的简称。
, 使它在t 。 其中t ❷“修正牛顿法”的简称。
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