集合S到S的某些一一变换，若对变换的合成运算构成一个群，则称此群为S的一个“变换群”。如果S是有限集，则称S的变换群为“置换群”。几何学中通常研究S是无限集的变换群。例如平面上所有的点作为集合S，绕原点的所有旋转构成一个变换群O+，称为平面上的旋转群。O+与平面上所有平移所生成的群称为平面上的运动群。解析几何就是研究在运动群下不变的量。按照*克莱因的观点，几何就是研究变换群下不变的量。