偏微分方程(卷名：数学)
partial differential equation
客观世界的物理量一般是随时间和空间位置而变化的，因而可以表达为时间坐标t和空间坐标(x1，x2，x3)的函数u(t，x1，x2，x3)，这种物理量的变化规律往往表现为它关于时间和空间坐标的各阶变化率之间的关系式，即函数u关于t与 (x1，x2，x3)的各阶偏导数之间的等式。例如在一个均匀的传热物体中，温度u就满足下面的等式：
(1)这样一类的包含未知函数及其偏导数的等式称为偏微分方程。一般说来，如果(x1，x2，…，xn)是自变量，以u为未知函数的偏微分方程的一般形式是
(2)这里F是它的变元的函数，
所包含的偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶数。由若干个偏微分方程所构成的等式组就称为偏微分方程组。其未知函数也可以是若干个。当方程的个数超过未知函数的个数时，就称这偏微分方程组为超定的;当方程的个数少于未知函数的个数时，就称为欠定的。
如果一个偏微分方程（组）关于所有的未知函数及其导数都是线性的，则称为线性偏微分方程（组）。否则，称为非线性偏微分方程（组）。在非线性偏微分方程（组）中，如果对未知函数的最高阶导数来说是线性的，那么就称为拟线性偏微分方程（组）。
设Ω是自变数空间Rn中一个区域，u是在这个区域上定义的具｜α｜阶连续导数的函数。如果它能使方程(2)在Ω上恒等成立，那么就称u是该方程在Ω中的一个经典意义下的解，简称为经典解。在不致误会的情况下，就称为解。
偏微分方程理论研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解（解的存在性），有多少个解（解的惟一性或自由度），解的各种性质以及求解方法等等，并且还要尽可能地用偏微分方程来解释和预见自然现象以及把它用之于各门科学和工程技术。偏微分方程理论的形成和发展都与物理学和其他自然科学的发展密切相关，并彼此促进和推动。其他数学分支，如分析学、几何学、代数学、拓扑学等理论的发展也都给予偏微分方程以深刻的影响。
微积分理论形成后不久，在18世纪初，人们就结合物理问题研究偏微分方程。最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程和调和方程（又称拉普拉斯方程）。例如给定一根拉紧的均匀柔软的弦，两端固定在x轴的某两点上，考察该弦在平衡位置附近的微小横振动，弦上各点的运动可以用横向位移u(x，t)表示，其运动规律可以用
(3)表示。(3)式就称为弦振动方程，它是J.le R.达朗贝尔首先研究的。如果考虑空间中的波动现象（例如电磁波和声波传播），其规律可以用
(4)表示。(4)式称为波动方程。 描写热传导规律的热传导方程如(1)所示，它是J.-B.-J.傅里叶发现的。当热运动达到平衡状态时，温度u所满足的方程是
它称为调和方程。调和方程也可以由许多其他物理理论推得，例如牛顿引力理论中的引力势，弹性薄膜的平衡，不可压缩流体的定常运动等。在自变数个数为2时，该方程也是解析函数ƒ(z)=u+iυ的实部u与虚部υ所应满足的方程，这时u、υ应满足柯西－黎曼方程组：
这是在数学中最重要的偏微分方程组之一，很早就在流体力学中起重要作用。
随着力学、物理学的发展，18世纪以来，连续介质力学、电磁理论、量子力学、引力理论、规范场论等等方面的基本规律，都被写成偏微分方程的形式。这些方程通常称为数学物理方程，对于相应的力学、物理学科都是至关重要的。在偏微分方程中所获得的每一研究成果，几乎都可以迅速地在相应的力学、物理学科中得到应用。近年来，在力学、物理学、化学、生物学以至经济学、社会学等学科中又不断归结出一些新的偏微分方程（组），它们的研究对于了解相应学科中的一些运动规律是十分重要的。
从偏微分方程的本身形式来看，最简单的是一阶偏微分方程。 n个自变数的空间Rn中一阶线性偏微分方程的标准形式是
一阶拟线性方程的标准形式是
而一般的一阶非线性方程则可表为
对于一阶偏微分方程的求解问题，早在19世纪初期已由A.-L.柯西、J.-L.拉格朗日等人给以解决，基本的方法是把求解这种方程的问题化为求解一阶常微分方程组的问题。
二阶以及更高阶的方程，一般难以化为常微分方程求解，定解问题的提法也相当多样。就波动方程、热传导方程和调和方程而言，首先总根据物理问题的需要，提出为求解问题所必须的定解条件，然后再从数学上加以概括和推广，形成多种多样的定解问题。对不同的偏微分方程，其定解条件的提法也往往迥然不同。
对热传导方程，可研究柯西问题，其定解条件是在t=0时刻给出u值，求t>0时方程(1)的解。还可研究热传导方程的另一些定解问题，例如设Ω是R3中的一个区域，求在Ω×[0，∞)中方程(1)的解，
要求它在t=0时取给定值u=φ，在t>0时当(x，y，z)落在区域的边界上时u也满足一定的条件，例如已知u的值或u的法向导数值等，这种问题称为初边值问题。对于波动方程，研究得最多的也是柯西问题与初边值问题，但这时在t=0上必须给出两个初始条件：函数u及其关于时间的导数
。对于调和方程，研究得较多的是边值问题，即在Rn的一个区域Ω的边界上给出定解条件，在Ω内求调和方程的解。若边界上的条件是给定未知函数u的值，则称这样的边值问题为狄利克雷问题，若边界上的条件是给定未知函数法向导数的值，则称这样的边值问题为诺伊曼问题，当然还有边界条件的其他种种提法。选定上述这样一些定解问题进行研究既有其物理上的根据，在数学上又能按照一定的准则被证明是合理的，这些准则中最常用的是解的存在性、惟一性以及解关于用作决定解的资料（例如初始条件等）的连续依赖性。如果一个定解问题的解是存在、惟一且连续地依赖于定解条件，则这个定解问题，称为适定的。适定性概念是J.（-S.）阿达马提出来的，过去认为，在物理学中有意义的定解问题必须是适定的，但后来已经知道许多在应用上很有意义的不适定的问题。对上述的几种方程，已有许多解法，波动方程和热传导方程的柯西问题，已经有了求解的公式，对于许多特殊的区域Ω，波动方程和热传导方程的初值问题以及调和方程的边值问题也有解的明显表达式。分析学中的许多特殊函数，也是从这些问题中发展起来的。但对一般的域Ω，这些问题要用比较复杂的手段才能解决，例如解狄利克雷问题就有上下函数法（佩隆法），位势法，变分法，差分法等等。在应用上往往要用数值解法，如差分法和有限元方法等等。
在上述特殊的二阶方程有了充分的研究之后，人们转向于一般的二阶线性偏微分方程，即
(5)方程中系数的不同代数性质往往会使偏微分方程及其解具有相当不同的性质，为此需要把微分方程分成不同类型来研究，对方程（5），如果在Ω的每一点x，二次型σ0
为正定(或负定)，则称它在Ω中为椭圆型的;如果在Ω的每一点，这二次型的特征值均不为零，且有一个和其他的特征值异号，就称这方程为双曲型的；若方程(5)可写为
的形式，式中
在Ω中为正定，则就称它为抛物型的。双曲型、抛物型、椭圆型方程是二阶线性偏微分方程的三种基本类型，数学物理中常见的波动方程、热传导方程和调和方程分别为它们的代表。关于这三种典型数学物理方程的定解问题的提法、解的性质以及求解方法，多半可推广到它们所代表的三种类型的方程上去。还有许多二阶线性偏微分方程并不属于上述的双曲、抛物、椭圆三种类型。如果在Ω的一个子区域中方程(5)是椭圆型的，在另一子区域中方程是双曲型的，在某余集中二次型σ(x，ξ)为退化，那么就称这方程是混合型的。F.G.特里科米在1923年首先研究了方程
y>0时，它是椭圆型的，y<0时，它是双曲型的。以后人们又结合空气动力学中的跨音速流和具相似性的超音速流，对混合型方程作了许多研究。
一些普遍适用的，不依赖于特殊类型的偏微分方程的性质的研究一直引人关注，19世纪末在解析函数范围中得到了一个很一般的结果。设有以u1，u2，…，uN为未知函数，x1，x2，…，xn为自变数的偏微分方程组，它具有下述特殊形式
(6)式中F1，F2，…，FN是x1，x2，…，xn，u1，u2，…，uN以及它们分别到r1，r2，…，rN阶为止的偏导数的函数，但不依赖于出现在左端的那些偏导数，如果F1，F2，…，FN是其变元在原点邻域内的解析函数，又设xn=0时给定初始值uα，
它们又都是x1，x2，…，xn-1的解析函数，而且
时，这些函数及其有关导数的数值连同x1=0，
x2=0，…，xn-1=0是在F1，F2…，FN的定义域之内，那么就有如下的结论:惟一地存在方程组 (6)在原点某邻域内的解析解。它满足已给的初始条件。这就是柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理。这种解析解的幂级数展开式的系数可以逐项求出。这是求近似解的一种一般性方法，但往往有收敛不快或收敛区域较小的情形。对任何一个解析函数构成的偏微分方程组可以通过一定的算法确定其是否可能有解析解，在有解的情况下确定解析解的自由度，这是C.里奎尔所得的结果。É.嘉当和E.凯勒把偏微分方程组写成外微分方程的形式，用更好的方法处理了同一问题，并在变换拟群论和局部微分几何学中取得了很多应用。
在解析函数领域中研究偏微分方程，其结果具有某种程度的一般性，在线性的情形，E.霍姆格伦就曾证明，如方程的系数和初始条件均为解析函数，柯西问题的光滑解是惟一的。然而系数和定解条件的解析性对于数学物理中所关心的许多边值问题是不能适用的。所以幂级数这个分析工具对于研究偏微分方程来说是远远不够的。
20世纪30年代起，各种泛函分析方法陆续被应用于偏微分方程的研究，使偏微分方程理论的面貌产生了很大的变化。首先对偏微分方程解的概念作了多种方式的推广，一种推广的方式是把经典解的在某种函数空间中的极限作为广义解。具体地说，如果l是一个线性偏微算子（例如式(5)所式），un是方程lun=ƒn的经典解，函数序列un与ƒn分别按某种意义收敛于u、ƒ，则称u是方程lu=ƒ的强解。另一种推广方式是利用格林公式，即对l可作其形式共轭微分算子l*，使对经典解u及边界上满足一定条件的任意光滑函数υ成立
(7)如果在一更广泛的空间中的u，ƒ也能对这些υ使(7)式成立，那么就称u是lu=ƒ的弱解。由于方程与定解问题种类繁多，广义解又可视为各种不同空间中的元素，所以广义解的种类是很多的。
强解和弱解在许多场合下是一致的，但有时也不一致。求解的大致过程是:利用泛函分析中的某些定理，证明广义解的存在性；再论证这些广义解的可微分性，然后得到经典解的存在性。在整个过程中，利用边界条件和方程lu=ƒ的右端ƒ，对u作出各种估计(称为先验估计)起着十分重要的作用，这时l视为一个函数空间到另一个函数空间的算子，可解性的问题就归结于逆算子是否存在的问题。
上述方法对解决许多偏微分方程问题都起着重要作用。不仅可以用来讨论二阶的情形，也可以用来发展高阶方程（以及方程组）的理论。一般地说，n个自变数的一个m 阶线性方程具形式
(8)式中
为非负整数，
；若它的系数满足
(9)式中
，则称(8)为m阶椭圆型方程。给定适当的边界条件，可以证明其解的弗雷德霍姆性质，即齐次方程的线性独立解的个数是有限的，非齐次方程解的存在性取决于非齐次项是否与共轭齐次方程（连同共轭的边界条件）的解正交。关于这种定解问题解的光滑性也有很好的结果，当问题的资料（出现在方程与边界条件中的函数，区域的边界）是
时（即任意阶导数存在且连续），解在区域上也是C∞的，当问题的资料为解析时，解也是解析的。若(9)式中确定的函数Pm(x，ξ)满足条件：对任何ξ≠0可以从ξ1，ξ2，…，ξn中选出一个变量ξn，使对任意ξ1，ξ2，…，ξn-1，方程Pm(x，ξ)=0都有ξn的n个相异实根，则称(8)关于方向(0，…，0，1)为严格双曲型方程。对此，可以证明其柯西问题是适定的，而且在有限区域中的解只依赖于初始平面上有限区域中初始资料的值。对于双曲型方程组也有类似的结论。双曲型方程（组）的初边值问题，也已有一定的研究。
这种泛函分析方法用于具相当一般性的一阶方程组
的边值问题也有相当的成效。这里 u是未知的向量函数，Ai、B都是方阵，ƒ是已知的向量函数。当Ai(x)是对称阵，阵
为正定时（B*是B的转置），它被称为正对称方程组。它跨越了经典的方程分类方法，即包括了部分的双曲、椭圆和抛物的方程组，并且包括了相当多的不属于上述类型的方程组。已经弄清楚了这类方程组一系列边值问题的解的存在性、惟一性和可微分性。这个理论对混合型偏微分方程的研究有特别的用处，已经能够利用这项理论解出多元混合型方程的一系列边值问题，得到经典解的存在性。在偏微分方程或方程组中，如上所述的椭圆型、双曲型等只占很少的一部分，绝大部分的方程（组）无法按经典的分类进行研究。因此，有必要建立尽可能普遍适用的理论或者给出新的分类方法。人们先对常系数方程进行了研究，往往不加定解条件而考察方程
P(D)u＝ƒ (10)
的求解问题，这里P(D)是一个常系数的偏微分算子。由于傅里叶变换可以将微分运算变成乘法运算，所以它在对这种方程的研究中起着很重要的作用，B.马尔格朗热首先证明任一常系数偏微分算子P(D)存在基本解，即满足P(D)E=δ的解。这里δ是狄喇克函数。L.赫尔曼德尔直接构造出了一个基本解E，并指出它是具有最好的局部性质的基本解。据此，只要对右端项ƒ在无穷远处的增长性作一定的限制，方程P(D)u=ƒ的解就可以用卷积E*ƒ给出，从而得到方程(10)的解的存在性。但这种解，一般只是分布解（见广义函数），也就是说，具紧致支集的C∞函数所成的空间上的线性泛函，是一种弱解。所以关于解的光滑性研究也是一个重要课题。对某些方程而言，若ƒ为C∞的，方程(10)的任一解u也必是C∞的。这类方程称为亚椭圆的，它包括椭圆算子，但是广泛得多。
当由常系数方程的一般理论过渡到变系数方程时，发生了意外的复杂情况。1957年H.卢伊首先给出一个无解方程的例子：
(11)式中u是复值的未知函数。他指出， 可以选取ƒ∈C∞(R3)，使得(11)在R3的任何非空子集中非但无经典解，而且也无分布解。后来知道，这种局部不可解的偏微分方程是非常多的。
为了对变系数线性偏微分方程作深入的研究，古典傅里叶分析的工具已远远不够。60年代微分算子的概念也有了很多扩充，从奇异积分算子开始发展为拟微分算子，它包括微分算子，具C∞核的积分算子以及椭圆算子的逆算子等等为其特殊情形，利用它讨论各种偏微分方程问题，如具C∞系数偏微分算子的柯西问题的惟一性定理、局部可解性问题、解的奇性的传播和反射等等，都取得了很好的结果，拟微分算子后来又被推广为傅里叶积分算子，它综合了古典的傅里叶分析法与幂级数法的优点，把它用于微分算子的化简，其手段更为灵活。
以拟微分算子与傅里叶积分算子为工具，近年来又发展了微局部分析方法。按这种方法对偏微分方程的解作更为精细的分析，解决了许多新的课题，成为近十余年来线性偏微分方程的重要工具，并被逐步推广与应用于处理非线性问题。目前对于仅具有单重特征的微分算子（主型算子）已作了比较充分的研究。
与线性方程理论蓬勃发展的同时，各种非线性问题的研究也获得了许多进展，可以说，许多较为复杂的物理问题都是非线性问题。在有的时候，用线性方程作为非线性方程的近似，也能够得出相当好的结果，但在许多情况下，非线性方程绝不是用线性方程所能够代替的。
就双曲型方程的柯西问题而言，在初始时刻附近，非线性方程的解的存在性是能够很好地解决的。但这种解有时会在有限时间内趋向无穷或其可微分性受到破坏，从而间断解就成为研究的对象。它是用来描述气体力学中激波的传播、反射等现象的。此外，在什么条件下不会出现奇性，也是近年来重要的研究对象。
非线性方程所描述的波，其波形往往会随其传播而发生畸变，但对于某些方程来说（如KdV方程）存在着不发生畸变的波动解，称为孤立波。两个孤立波相互作用后，仍然分开成两个孤立波，这种现象也引起了人们很大的兴趣，并已发展了系统的理论。
抛物型和椭圆型的拟线性方程，由于先验估计的深入发展，已有相当多的成果。由于这种算子的逆算子往往有相当好的光滑的性质，所以解的可微分性要比双曲型方程的情况好得多。但抛物型方程的解仍然可能在有限时间内变为无穷，椭圆型方程依某种意义定义出来的广义解仍然不能具有好的可微分性，对于描述粘性流体运动的纳维-斯托克斯方程，也有深入的成果，但对解的大范围存在性和解的正则性仍有很多问题。近年来，对于描述既有扩散现象又有化学反应的反应扩散方程，也有较多研究，并且在生物学等领域有所应用。
在非线性问题的研究中，不断发展出一些独特的数学方法，除了从线性问题过渡到非线性问题时常用的不动点方法外，拓扑度方法与变分法(包括临界点理论)是研究非线性问题大范围解与多重解的有效工具，此外，在各种不同的具体问题中，单调算子方法、非线性半群、隐函数定理等都起着重要的作用。但总的来说，对于非线性方程的研究尚处于各种问题和方法分别地发展的状态，尚未形成一个统一的理论，还没有一种普遍适用于各类问题的方法。在实际应用中，常利用电子计算机进行数值计算来求解，对许多问题都能够取得相当准确的结果。
偏微分方程往往还是处理分析问题和几何问题的有效的工具，例如复变函数论，特别是多元复变函数需要用偏微分方程去解决许多问题。微分几何学和偏微分方程关系一直十分密切，微分几何所提出的问题，是偏微分方程发展的一项动力。近年来，微分流形上的偏微分方程的研究，取得了很多深入的成果，如线性椭圆算子的指标定理，杨振宁-米尔斯方程和蒙日-安培方程的求解，极小曲面和调和映射的研究等等，微分几何和偏微分方程的相互渗透，成为一个重要的发展趋势。
从50年代起，中国研究偏微分方程理论和应用的人员增长很快，研究的范围也日益广泛，在若干领域中，已经取得了有国际影响的一系列成果。
参考书目
R.Courant and D，Hilbert，Methods of MatheMatical Physics，Vol. 1～2， International Pub.， New York，1953，1962.
L.Hormander，The Analysis of Linear partial Differential Operators， Vol.1～3， Springer-Verlag，Berlin，1983.