傅里叶级数(卷名：数学)
Fourier series
一种特殊的三角级数。形如
(1)的级数，其中αn(n=0，1，2，…)和bn(n=1，2，…)是与x无关的实数，称为三角级数。特别，当(1)中的系数αn，bn可通过某个函数ƒ(x)用下列公式表示时，级数(1)称为ƒ的傅里叶级数：
(2)式中ƒ是周期2π的可积函数，即ƒ∈l1(-π，π)。此时，由公式(2)得到的系数αn，bn称为ƒ的傅里叶系数。ƒ的傅里叶级数记为 
。 (3)当然，ƒ的傅里叶级数并不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于ƒ(x)。假如已知三角级数一致收敛于ƒ(x)，即
，那么双方都乘以cosnx或sinnx后，在(－π，π)上可以逐项积分，由三角函数系的正交性，即得公式(2)。所以，如果三角级数(1)一致收敛于ƒ(x)，级数(1)必为ƒ的傅里叶级数。问题往往是，给定函数ƒ，需要把它表示成三角级数(1)。J.-B.-J.傅里叶的建议是，利用公式(2)，求出ƒ的傅里叶系数αn，bn，就得到傅里叶级数(3)。可以证明，只要ƒ满足一定的条件，那么ƒ的傅里叶级数σ[ƒ]收敛于ƒ。
傅里叶级数的收敛判别法 常用的判别法有：
① 迪尼判别法 对固定的点x，如有数s，使得函数φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在[-π，π]上勒贝格可积，则σ[ƒ]在点x收敛于s。由此可知，当ƒ在点x连续，并满足李普希茨条件，即
(0<u≤h)，那么σ[ƒ]在x收敛于ƒ(x)，其中M ，h，α均为正数，且α≤1。另外，当ƒ(x)具有连续的导函数ƒ′(x)时，σ[ƒ]一致收敛于ƒ(x)。② 狄利克雷－若尔当判别法 假设函数ƒ在含有点x的某区间，例如［x-h，x+h］上分段单调，则ƒ的傅里叶级数在点x收敛于(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。
上面提到的收敛判别法，对函数所提的要求，都是充分条件，并非必要的。关于收敛性判别法，还有几种。值得注意的是，至今还没有收敛的充分且必要的条件。
傅里叶级数的复数形式 三角级数(1)还可用指数函数来表示。事实上，
/2，
（叿n表示сn的共轭复数），那么级数(1)可写成复数形式
， (4)这里，(4)的部分和Sn理解为
。假如(1)是ƒ的傅里叶级数，那么它的复数形式也是(4)，但系数
。 (5)上式表达的сn称为ƒ的复傅里叶系数，又称ƒ的傅里叶系数的复形式。傅里叶系数的重要性质 列举下面两条：
① 若ƒ(x∈l(-π，π)，则ƒ的傅里叶系数αn，bn（或сn），当n→∞时趋于0，称为黎曼-勒贝格定理。
② 若ƒ(x∈l2(-π，π)，则有
。这个等式称为帕舍伐尔等式；反之假如{сk}是一列双向的数列，满足条件
，那么必存在惟一的函数ƒ(x∈l2(-π，π)，它的傅里叶系数等于｛сk｝(k=0，±1，±2，…)。这个逆命题称为里斯－费希尔定理。三角级数与单位圆内解析函数的关系 设z=eix(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点，于是级数
(6)的实部就是三角级数(1)，虚部
(7)
多元三角级数与多元傅里叶级数 设
为m 维欧氏空间Rm的点，级数
(8)称为m元三角级数，其中
，而n1，n2，…，nm为整数。假如ƒ(x)＝ƒ(x1，x2，…，xm)关于每个变量xi(1≤i≤m)都是周期为2π的周期函数，且在立方体Q:-π ≤xj≤π (j=1，2，…，m) (9)上，ƒ是勒贝格可积的。类似于(5)，如果(8)中系数
那么称(8)为ƒ的傅里叶级数，并记为
多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质，但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题，却远较一元复杂。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
参考书目
A. Zygmund，Trigonometric Series，Vol. 1～2， Cambridge Univ.Press，Cambridge，1959.