帕德逼近(卷名：数学)
Padé approximation
一种特殊的有理函数逼近，以法国数学家H.帕德的名字命名。它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系，而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。设
是在原点某邻域内收敛的、具有复系数的马克劳林级数。欲确定一个有理函数
，式中
，使得
前
次方的系数为0，即使得
此处约定qk＝0（k>n）。虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一，但是比式
却总是惟一的。有理函数
称为F(z)的(m，n)级帕德逼近，记为[m/n]。由[m/n]所形成的阵列
称为帕德表。不难看出，帕德表中的第1行恰为幂级数F(z)的部分和序列。设
的前
项部分和为
(z)，则可以证明F(z)的帕德逼近
的定义等价于：按方程组
(j=0，1，…，m＋n)，且Qn(z)扝0来确定
。进而，如果F(z)于原点处m+n次连续可微，则把上式中的
(z)替换成F(z)后，它仍然等价于帕德逼近[m/n]的定义。 称由此而得的方程组
(j=0，1，…，m+n)为帕德方程组。这种转化使得在计算帕德逼近时不必事先写出F(z)的马克劳林展开式。只要Qn(0)≠0，则可更进一步证明上述方程组又等价于
(j=0，1，…，m+n)。这样一来，帕德逼近［m/n］在确定条件下，等价于一个有理函数的重插值问题。对一切非负整数μ，v，下述条件
称为 
的正规化条件。该条件在帕德逼近理论中起着很重要的作用。例如，当F(z)满足正规化条件时，Pm(z)/Qn(z)对一切m与n而言总是不可约的。帕德逼近已经有很多计算方法，而且还有多种重要推广。
帕德逼近序列的收敛性问题通常是十分困难而又颇有兴趣的。鉴于帕德逼近表中主对角线上的帕德逼近的数值性质为最好，以下仅列举一个有关的收敛性结果:设α>0，且{nk}是一个正整数序列。假定
在ΔR={z| |z|<R}（R>0）内全纯并且满足
。则F(z)的帕德逼近序列{[nk/nk]}在每一个紧子集D\\E上一致收敛于F(z)(k→∞)，此处E是一个α维豪斯多夫零测度集。