词条 | 广义函数 |
释义 | guangyi hanshu 广义函数(卷名:数学) generalized function,distribution 古典函数概念的推广。关于广义函数的研究构成了泛函分析中有着广泛应用的一个重要分支。历史上第一个广义函数是由物理学家 P.A.M. 狄喇克引进的,他因为陈述量子力学中某些量的关系时需要引入了“函数”δ(x):当 x≠0时,δ(x)=0,但 ![]() 在广义函数理论的形成过程中有重要影响的有:J.(-S.)阿达马 (1932)在研究波动方程基本解时使用了发散积分的有限部分。С.Л.索伯列夫(1936)在研究双曲型方程的柯西问题时用分部积分引入了广义导数和微分方程广义解的概念,并把函数δ及其导数δ′等视为某个函数空间上的线性泛函;他对广义函数论的建立迈出了决定性的一步。S.博赫纳(1932)和T.卡莱曼(1944)讨论了幂增长函数的傅里叶变换,提出了连续函数的形式导数概念。 当然为那些怪函数建立严格数学基础的方法并不是惟一的,例如波兰学者J.米库辛斯基就曾用较初等的方法建立它们的基础。也有把广义函数看作解析函数的边界值,并由此发展出超函数理论。换句话说,广义函数的定义并不完全统一,而是具有一定程度的灵活性,可以根据问题的需要适当地定出相应的广义函数类。 基本函数空间和广义函数空间 泛函分析观念下的广义函数理论的核心是把广义函数看成某个函数空间上的连续线性泛函,即先选取某些性质很好的函数组成的线性空间,再在其中给出适当的收敛概念,这样的函数空间就称为基本函数空间,又称为测试函数空间,而其中每个函数称为基本函数或测试函数。相应于基个基本空间上的连续线性泛函就称为该基本空间上的广义函数。广义函数全体就称为相应于基本空间的广义函数空间。常用的基本空间有K空间和S空间。 基本函数空间K 设 φ(x)是定义在n维欧几里得空间 Rn上的复值函数,用Sφ表示集{x|φ(x)≠0}的闭包,称为φ(x)的支集。对任意n个非负整数p1,p2,…,pn。记 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 设K是 Rn上无限次可微而且支集有界的复函数全体,K按通常函数的线性运算成为复线性空间。在K上引进极限概念如下:设{φn}嶅K, φ∈K, 如果满足①对于函数列{φn}存在有界区域Ω, 使所有函数 φn在Ω外为0,即S拻嶅Ω,②对每个 ![]() ![]() K空间上的广义函数 设 ƒ是定义在K空间上的复值函数,如果ƒ(φ)是K上连续线性泛函,即满足①(线性)对任意φ1,φ2∈K,复数 ![]() ![]() ![]() ![]() K上广义函数的例子 ①设ƒ(x)是Rn上的可测函数,如果在每个有界闭立方体上勒贝格可积,则称为局部可积函数, 其全体记为l*。在l*中几乎处处相等的函数看作相同。对每个ƒ∈l*,令 ![]() 式中dx是Rn上的勒贝格测度。上式确定的Tƒ是K上的一个广义函数。也就是说,普通的局部可积函数可以等同于K上一个广义函数,称为正则广义函数。 ② 由下式定义的泛函 ![]() ③ 设μ是Rn中波莱尔可测集上的复值的可列可加集函数,并且在每个紧集上测度有限,由 ![]() ④ 单变量函数 ![]() ![]() (PV表示柯西主值)。 ![]() K′上的拓扑 在K′上可如下引进序列收敛概念。设{Fn}嶅K′,F∈K′,如果对每个φ∈K有 ![]() ![]() 广义函数的支集 对于广义函数一般说来在某一点的值是没有意义的。例如不能讲广义函数F在x0点为0,但可以说广义函数F 在某邻域(开集)U 中为0,它的意思是,对每个支集在U 中的基本函数φ ,<F,φ >=0,记为 F|U=0。并集 ∪{U|F|U=0}的余集SF称为广义函数F的支集。一般地,例①中ƒ(x)如果是连续函数,那么它的支集和Tƒ的支集 ![]() K上广义函数的导函数和原函数 当F 是K空间上的广义函数时,显然 ![]() ![]() ![]() 当ƒ(x)是Rn上普通的连续可微函数时,ƒ作为广义函数意义下的导数和ƒ 的经典导数是一致的。可见广义函数导数概念是普通导数概念的推广。但从广义函数导数的定义可以知道,对于每个广义函数存在任意阶的广义导函数,并且可以交换广义函数求导次序。另外广义函数的求导运算和极限运算是可以交换的。上述性质表明广义函数的出现解除了经典分析中对求导运算和对函数列的极限进行求导运算的种种限制。例如对于 R上亥维赛函数θ(x):当x≥0时,θ(x)=1。当x<0时,θ(x)=0,它的广义导数 ![]() ![]() 广义函数也可定义原函数或不定积分。设 F是单实变量的K 空间上广义函数,如果广义函数G满足 ![]() K上广义函数的构造 利用广义函数的导数概念可以给出一类广义函数的结构。下述定理表明 K上每个广义函数局部地是一个有界函数的导函数。 K空间上广义函数的局部构造定理:设F∈K′,w是Rn中有界开集,则F在w上等于一个具有有界支集的连续函数的导函数。 特别,每一个具有有界支集的广义函数F∈K′必能表示为 ![]() ![]() ![]() K 上广义函数的傅里叶变换 设 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 设ƒ∈K′,作Z上连续线性泛函F(ƒ) ![]() ![]() 对一元广义函数,常用的傅里叶变换列表如下: ![]() ![]() ![]() ![]() 考虑S空间上的广义函数的好处是对于ƒ∈S′,它的傅里叶变换F(ƒ)仍是属于S′的缓增广义函数,这就给讨论带来很大方便。因此在不少应用场合多采用 S空间的广义函数。 广义函数的直积 又称张量积。设 x,y是Rn和Rm中的点,K(Rn),K(Rm)分别表示其上K 空间。ƒ∈K′(Rn),g∈K′(Rm)那么存在一个且仅有一个Rn×Rm上的广义函数,记为ƒ圱g,它由下式定义: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 广义函数的卷积 设 ƒ,g∈K′,其中至少有一个支集有界,则可定义 K 上广义函数 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 广义函数和婛∞类函数的乘积 设ƒ∈K′,α∈ ![]() ![]() <αƒ,φ>=<ƒ,αφ> (φ∈K), 称为α和ƒ的乘积,并称α为K′上乘子。当ƒ∈l*时,它和通常函数乘积相一致。 记OM(Rn)为满足下述条件的所有 ![]() ![]() ![]() 称OM为在无限远点处缓增的无限次可微函数空间。OM是缓增广义函数S′的乘子空间。 如果ƒ∈S′,φ ∈OM,定义乘积φƒ为 ![]() 那么φƒ仍属于S′。 但是一般地定义两个广义函数的乘积是困难的。例如两个局部可积函数的乘积就不一定是局部可积的,于是就不一定能确定为广义函数。 基本解 作为应用,广义函数论特别是它的傅里叶变换理论可有效的用来研究偏微分方程的求解问题。 设P(D)是Rn上常系数线性偏微分算子,如果能找到一个广义函数ƒ,使得P(D)ƒ=δ,那么称ƒ为P(D)的基本解或方程P(D)ƒ=0的基本解。 如果ƒ是P(D)的基本解,那么对于一般的非齐次方程 P(D)u=μ, 它的解为 u=ƒ*μ,这里μ∈K′,且假定 ƒ*μ是有意义的。事实上如 ƒ*μ存在的话,则由卷积的性质知P(D)(ƒ*μ)=P(D)ƒ*μ=δ*μ=μ。这样,基本解就可以起到构造其他解的作用。也可以利用它来讨论微分方程其他解的性质。下面是基本解的存在定理:设P为一n元多项式,那么必存在常系数偏微分方程P(D)ƒ=δ的基本解ƒ∈K′,而且这时可取ƒ,使得F(ƒ)是解析泛函。 亥维赛函数θ(x)是 ![]() 此外,还可以考虑柯西问题基本解的概念。例如,称适合热传导方程 ![]() ![]() 因此适合初始条件ƒ(x,0)=ƒ0(x)(ƒ0(x)也可以是广义函数)的热传导方程的解为 ![]() 对变系数偏微分方程的研究,广义函数也同样起着很重要的作用。 |
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