词条 | 最小二乘法 |
释义 | zuixiao erchengfa 最小二乘法(卷名:数学) method of least square 测量工作和科学实验中常用的一种数据处理方法,由A.-M.勒让德和C.F.高斯于19世纪初分别独立提出。例如,根据实验观测得到的自变量x和因变量y之间的一组对应关系(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),找出一个给定类型的函数y=ƒ(x)(如线性函数y=αx+b)或二次函数y=αx2+b)x+с等),使它在观测点x1,x2,…,xm处所取的值ƒ(x1),ƒ(x2),…,ƒ(xm)与观测值y1,y2,…,ym在某种尺度下最接近。常用的一种尺度和处理方法是:确定函数ƒ(x)中的参数(如前述例子中的参数α和b)或α、b)和с),使在各点处偏差 ![]() ![]() 从几何意义上讲,上述问题等价于确定一平面曲线(类型先给定),使它和实验数据点“最接近”,故又称为曲线拟合问题。它和插值法不同,并不要求曲线严格通过已知点。由于实验数据常带有观测误差和其他随机因素,所以与实验数据保持一致的插值法往往反倒不如最小二乘法得到的曲线更符合客观实际。 线性最小二乘问题 设 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 求最小二乘解的QR分解法 当m较大时(实际问题多如此),CTC 往往是病态矩阵,因而从法方程(2)求最小二乘解是不利的。直接从矩阵C出发,进行所谓QR分解,则不仅可避免上述弊端,而且具有较好的数值稳定性。这个方法的原理是:对任意m×n阶矩阵C, 存在m×m 阶正交阵Q,使 ![]() ![]() ![]() ![]() 参考书目 C.L.Lawson and R.J.Hanson,Solving LeastSquares Problems, Printice-Hall,Englewood Cliffs,New Jersey,1974. 南京大学计算数学专业编:《最优化方法》,科学出版社,北京,1978。 |
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