词条 | 整数分拆 |
释义 | zhengshu fenchai 整数分拆(卷名:数学) Partition of integral number 堆垒数论的一个基本问题。把正整数 n分成为不计次序的若干个正整数之和 ![]() ![]() ![]() ![]() 整数分拆理论,主要是研究各种类型的分拆函数的性质及其相互关系。早在中世纪,就有关于特殊的整数分拆问题的研究。18世纪40年代,L.欧拉提出了用母函数法(或称形式幂级数法)研究整数分拆,证明了不少有重要意义的定理,为整数分拆奠定了理论基础。解析数论中的圆法的引进,使整数分拆理论得到了进一步发展。整数分拆与模函数有密切关系,并在组合数学、群论、概率论、数理统计学及质点物理学等方面都有重要应用。 分拆函数关系式 幂级数 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1853年,N.M.费勒斯首先提出用图示法研究分拆函数。为确定起见,分拆的被加项按不增次序排列n1≥n2≥…≥ns>0。他把n的一个分拆n=n1+n2+…+ns,用图形表示:自上而下画出s行等距圆点,第i行的圆点数为nj(1≤i≤s),且每行左起第一个圆点位于同一列上。这种图通常称为费勒斯图。例如,16=8+4+3+1可用 ![]() 利用图形的组合性质可得到不同类型的分拆函数之间的关系式,以及一些恒等式。例如,F.弗兰克林于1881年用这种方法证明了五角数定理。可以根据不同的分拆类型和问题来选用其他更合适的图形表示。分拆图示法是一个灵活而有效的方法。 与模函数的关系 无限制分拆的母函数 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() p (n)的渐近公式与级数表示式 无限制分拆函数p(n)的值,随n的增长而急剧增长: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() p(n)的同余式 S.A.拉马努金于1919年得到了p(5n+4)呏0(тod 5),p(7n+5)呏0(тod 7),p(11n+6)呏0(тod 11)。他还提出了一个猜想,后来发现有错,经过修正,G.W.沃森于1938年、J.勒纳于1943年与 A.D.L.阿特金于1967年证明了:若 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 参考书目 华罗庚著:《数论导引》,科学出版社,北京,1957。 G.E.Andrew,The Theory of partitions, Addison-Wesley, London, 1976. |
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