词条 | 闭曲面的分类 |
释义 | biqumian de fenlei 闭曲面的分类(卷名:数学) classification of closed surfaces 关于空间的拓扑分类,这是一个既重要又有趣,然而也是非常难的问题,至今没有能完全解决。但限于闭曲面的情形,结果是非常完满的。它是数学中为数不多的几个完整的漂亮定理之一。 在众多的闭曲面中,球面显然是首先会被想到的,实际上,它可以作为构造其他的闭曲面的出发点。 为了从球面得到其他的闭曲面,先在球面上剪去几块,或者换一种说法,就是打些洞,然后再用适当的“补钉”将这些洞补上。当然,为了得到新的闭曲面,不能用刚剪下来的那种小圆片当“补钉”,而应换用其他类型的曲面。显然,如果用平环(如图1所示的阴影部分) ![]() ![]() 用平环这种“补钉”修补球面上的洞时,先是将外圆周和一个洞的边缘粘合,然后再将内圆周和另一个洞的边缘粘合。这样做的理由是因为最后要得到闭曲面。为了得到闭曲面,也可以直接将内圆周上的点,按粘合对径点(同一条直径上的两个端点)的方式把它封闭起来。这种先将内圆周沿对径点粘好的“补钉”,称为“交叉帽”,一个交叉帽可以补一个洞。带有任意多个交叉帽的球面,就构成另一半闭曲面。总而言之,任意一个闭曲面,它不是和一个安有若干个柄的球面同胚,就是和一个带有某些个交叉帽的球面同胚。 交叉帽是将平环的内圆周沿对径点粘合。现将平环沿AB和DE剪开(图3),得到ACDEF和A′B′C′D′E′G 两块(这里A剪开成A和A′,B、D、E,同此,但B和D是对径点应粘合,故B、B′,D、D′为同一点)。现将这两块沿BCD和D′C′B′粘合。如图4,所示,在长方形 ![]() ![]() ![]() ![]() 带一个交叉帽的球面,就是投影平面(投影平面就是将单位圆的对径点粘合而得,见图5。由于对径点粘合,故阴影部分同胚于有一个洞的球面,而余下部分为麦比乌斯带);带两个交叉帽的球面,通常叫做单侧双环面或克莱因瓶(见图6及见彩图)。 ![]() ![]() ![]() 单侧曲面画出来都是要自己和自己相交的。 |
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