词条 | 泰勒级数 |
释义 | taile jishu 泰勒级数(卷名:数学) Taylor series 解析函数的一类幂级数展开式。在圆|z-α|<R内解析的函数ƒ(z)可以展为以下形式的幂级数 ![]() 设z是圆│ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 零点 若ƒ(α)=ƒ′(α)=…=ƒ(m-1)(α)=0,ƒ(m)(α)≠0,则称α是ƒ(z)的一个m级零点。特别地,若m=1,则称α是ƒ(z)的一个简单零点。 根据解析函数可以展为泰勒级数的上述事实,可以得到解析函数以下两个重要性质。 ① 零点的孤立性 若ƒ(z)是域D内不恒为零的解析函数,则ƒ(z)在D内的零点是孤立的。也就是说,若ƒ(α)=0 (α∈D),则存在α的一个邻域,使得ƒ(z)在该邻域内除α点外没有其他零点。 ② 惟一性定理 设ƒ1(z),ƒ2(z)是域D内的两个解析函数,若存在点集A嶅D,它有一个属于D的极限点α,且在A上ƒ1(z)=ƒ2(z),则在D内ƒ1(z)=ƒ2(z)。惟一性定理可由零点孤立性推出。 柯西不等式 若函数 ƒ(z)在圆│z-α│<R内是解析的,且│ƒ(z)│≤M,则ƒ(z)在圆│z-α│<R内的泰勒级数 ![]() ![]() 事实上,由(4)式得 ![]() 刘维尔定理 若ƒ(z)是有穷复平面上的有界解析函数,则ƒ(z)必为常数。 事实上,这时(3)式在圆|z-α|<R内成立,R是任意正数,由柯西不等式立即推出сn=0(n≥1)即ƒ(z)呏с0(常数)。 |
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