测度论(卷名：数学)
measure theory
研究一般集合上的测度和积分的理论。它是勒贝格测度和勒贝格积分理论的进一步抽象和发展，又称为抽象测度论或抽象积分论，是现代分析数学中重要工具之一。
纵观勒贝格积分和勒贝格－斯蒂尔杰斯积分理论，不难发现它们都有三个基本要素。第一，一个基本空间（即 n维欧几里得空间Rη）以及这个空间的某些子集构成的集类即L（勒贝格）可测集或某L－S（勒贝格-斯蒂尔杰斯）可测集全体，这个集类对集的代数运算和极限运算封闭。第二，一个与这个集类有关的函数类（即L可测函数或某L-S可测函数全体）。第三，一个与上述集类有关的测度（即L测度或某L-S测度）。在三个要素的基础上，它们都是运用完全类似的定义和推理过程获得完全类似的一整套测度、可测函数、积分的定理（见勒贝格积分、贝尔函数）。测度论正是基于这些基本共同点所形成一般理论。
环和σ代数 设X是非空的集。E是以Χ的某些子集作为元素构成的集，称E为Χ上的一个集类。设R是Χ上的一个集类。如果它对集的并、差运算封闭，即对任何A、B∈R，必有A∪B∈R，A\\B∈R，则称R为Χ上的环；如果R不仅是一个环，而且Χ∈R，则称R为Χ上的代数。例如直线R1上的左开右闭的有限区间(α，b](α=b时，(α，b]表示空集）的全体记为P，P便是R1上的集类，但不是环。P中任意有限个集的并的全体记为R0，R0便是R1上的环，但不是代数。直线上任意有限个区间(包括无限区间)的并的全体R奿是R1上的代数。环或代数虽对集的代数运算（即并、差、交运算）封闭，但对极限运算不一定封闭，这就不适应分析数学的要求。因此，需要引入下面的概念：设φ)是Χ上的一个环，如果它对集的可列并运算封闭（即对任何一列An∈φ)，n=1，2，…，必有
），则称φ)为Χ上的σ环;如果φ)是σ环，并且Χ∈φ)，则称φ)为Χ上的σ代数。σ环就对集的并、差、交以及极限运算都封闭，而σ代数还对集的求余集运算封闭。例如，R0，R奿，都不是R1上的σ环，而L可测集（或L-S可测集）的全体是R1上的σ代数。又如Χ的一切子集的全体Χ是Χ上的σ代数。由于任意个环的交仍是环，因此对一个集类E，一切包含E的环的交是包含E的最小环，记为R（E）。同样，包含E的最小σ环记为φ)(E)。例如
而
便是R1上的波莱尔集类。可测空间和可测函数 设φ)是Χ 上的σ环，称（Χ，φ)为可测空间，而称φ中的任何集A为(Χ，φ)中的可测集（也称为Χ中的φ可测集）。如果Χ是Rn，而φ分别是Rn中 L可测集全体（记为L）、由单调增加右连续函数g(x)生成的L-S可测集全体（记为 Lg）、波莱尔集全体（记为B），则相应地称(Χ，φ)是L可测空间、L-S可测空间、波莱尔可测空间。设E是可测空间(Χ，φ))中的可测集，ƒ是定义在E上的有限实值函数。如果对任何实数с，{Χ│ƒ(x)>с}∈φ，那么称ƒ为E上关于(Χ，φ)的可测函数，也称为E上的φ)可测函数。这种可测函数是L可测函数、L-S可测函数等概念的直接推广。它有许多等价定义方式，并且具有L可测涵数所具有的代数性质及极限性质。定义在E上的复值函数ƒ，如果它的实部、虚部都是可测函数，那么就称ƒ为E上的可测函数。可测空间、可测集、以及可测函数等概念原则上并不涉及测度。
测度和测度空间 设Χ是非空集，E是Χ上的集类，定义在E上的函数称为集函数（因为自变元是属于E，它是Χ的子集）。设R是Χ上的环，μ是定义在R上的取非负的广义实值(可以取值＋
)的集函数，如果满足：①μ(═)＝0(═是空集)；②(可列可加性)对任何一列互不相交的 An∈R(n=1，2…，)，并且
有
，则称μ为环R上的测度。设(Χ，φ)是一个可测空间，μ是定义在φ上的测度，则称(Χ，φ)，μ)是测度空间。特别，(R1，L，m)及(R1，Lg，mg)分别称为（直线上的）L测度空间和L-S 测度空间。测度空间(Χ，φ，μ)中的测度μ 除了平移、反射不变性以及余集(因为 X可能不在S中）的性质外，具有勒贝格测度m的其他性质。由于φ是σ环，对集的极限运算封闭，所以测度空间是建立具有良好的极限性质的积分的基础。设A是可测空间(Χ，φ)中可测集。如果有一列可测集{An}，μ(An)<
(n=1，2，…)，使得
则称A为σ有限集。如果φ)中一切集都是σ有限的，则称(Χ，φ)，μ)是σ有限的测度空间。特别，当φ是σ代数且Χ是σ有限集时，称(Χ，φ)，μ)为全σ有限测度空间。通常分析数学中所用的具体的(Χ，φ)，μ)大都是全σ有限测度空间。设测度空间(Χ，φ)，μ)中的φ)是σ代数，如果μ(Χ)<
，则称(Χ，φ)，μ)为全有限的测度空间。特别，当μ(Χ)=1时，称(Χ，φ)，μ)为概率测度空间（概率论中用的全是这种空间）。设A是测度空间(Χ，φ)，μ)上的可测集。如果μ(A)＝0，则称A为μ零集。如果(Χ，φ)，μ)中任何一个μ零集的任何子集都是可测集，则称（Χ，φ)， μ）为完全测度空间。例如(R1，L，m)，(R1，Lg，mg)都是完全的、全σ有限的测度空间。
测度空间上可测函数列的收敛 同L测度一样，在测度空间(Χ，φ，μ)中也有命题P在E上“几乎处处”成立的概念，它是指E中使命题P不成立的点的全体（它可能不是可测集）包含在某个μ 零集中。对于完全测度空间，命题P在E上几乎处处成立就是指使命题 P不成立的点的全体是μ零集。在不完全的测度空间上，关于μ几乎处处相等的两个可测函数ƒ和h，未必能从ƒ的可测性推出h也是可测的，只有在完全测度空间才能做到这一点。对于测度空间上的可测函数序列，常用的重要收敛概念同样有两个:一是E上可测函数列{ƒn}几乎处处收敛于可测函数ƒ，即{x│ƒn(x)→ƒ(x)}包含在某个μ零集中;另一是E上可测函数列{ ƒn}度量收敛 (或称依测度收敛)于可测函数 ƒ，即对任何 ε>0，
上述两种收敛的关系是和L测度的情形一样。此外，在测度空间上也成立叶戈罗夫定理:设E上可测函数列{ƒn}几乎处处收敛于可测函数ƒ，并且μ(E)<
，则对任何δ>0，必存在可测集Eδ嶅E，使得μ(E\\Eδ)<δ，且{ƒn}在Eδ上一致收敛于ƒ。类似于L测度的情形，在测度空间上也可引入度量基本序列（或依测度基本序列），并成立相应的完备性定理。积分和积分平均收敛 同 L积分建立过程完全一样，可以建立测度空间上的积分概念，只要将那里的测度m换成现在的μ即可。L积分所具有的大部分性质对一般的测度空间上的积分也是成立的。在测度空间中也有积分平均收敛，平方平均收敛或更一般的p次平均收敛的概念以及相应的性质。
环上测度的延拓 对积分来说，采用关于集的极限运算不封闭的环上的测度是不够的，有用的是σ环上的测度。然而由于环的结构比σ环的结构要简单得多，所以在环上给出一个测度或验证环上的某个非负集函数是否是测度往往比在 σ环上要简单得多。自然就产生定义在环R上的测度是否一定能延拓成包含R的最小σ环φ(R)上的测度的问题。测度论中证明了如下重要定理：任何环上的σ 有限测度必可惟一地延拓成包含它的最小σ 环上的 σ有限测度。标准的延拓方法（称为卡拉西奥多里延拓）如下：设 R 是 X 上的环，μ 是 R 上的测度，令
在H（R）上定义 
称μ
是由μ导出的外测度。如果Χ 的子集B，对任何A∈H(R)都成立μ(A)=μ(A∩B)+μ(A\\B)，则称B满足卡拉西奥多里条件。记R是H(R)中满足卡拉西奥多里条件的集的全体，则R是包含R的σ环（因而
），而且（Χ，R
，μ）是完全的测度空间。并且，对于任何A∈R，μ（A）=μ（A），即R上的测度μ是R上测度μ的延拓。此外，有如下的延拓惟一性定理:设μi是 σ环φi(i=1，2)上的测度，环
如果μ1，μ2在R上相等，并且当μ1，μ2作为R上的测度时，R中的集都是σ有限的，则μ1，μ2作为σ环φ(R)上的测度必相等，并且φ(R)中的集都是σ有限的。测度的完全化和增补 设(Χ，φ，μ)是测度空间，如果它不是完全的，就有可能出现零测度的集的子集是不可测的，这在许多场合是不方便的。因此就发生测度的完全化的问题。通常可用如下增补法将测度完全化。设(Χ，φ，μ)是测度空间，N表示一切μ零集的一切子集所组成的集类，作集类
易知φ′是包含φ的σ环，在φ′上的集函数
是φ′上的测度，并且 (Χ，φ′，μ′)是完全测度空间，称(Χ，φ′，μ′)为(Χ，φ，μ)的完全化空间或增补。乘积测度空间和富比尼定理 设(Χ，φ)，(Y，T)是两个可测空间，称Χ×Y的子集A×B(A∈φ，B∈φ)为可测矩形，包含一切可测矩形的最小σ环记为φ×T，称(Χ×Y，φ×T)为(Χ，φ)与(Χ，T)的乘积可测空间。设E是(Χ×Y，φ×T)上的可测集，即E∈φ×T，则E的任何x截口Ex={y│(x，y)∈E}必是(Y，T)的可测集。同样，定义在E上的关于(Χ×Y，φ×T)的可测函数ƒ(x，y)，它的任何x截口ƒx(y)=ƒ(x，y)必是Ex上关于(Y，T)的可测函数。设(Χ，φ，μ)，(Y，T，v)是两个σ有限的测度空间，可以证明存在惟一的φ×T上的σ有限测度λ，使得对任何可测矩形A×B，λ(A×B)=μ(A)v(B)。通常称λ为μ与v的乘积测度，记为μ×v， 并称(Χ×Y，φ×T，μ×v)为(Χ，φ，μ)与（Y，T，v）的乘积测度空间。需要指出，即使(Χ，φ，μ)与(Y，T，v)都是完全的，乘积测度空间也未必是完全的。同L测度的情况类似，关于重积分和累次积分关系的富比尼定理在一般的乘积测度空间中也成立。
有限可加测度 设φ是Χ上的σ环，μ是定义在φ上的非负集函数（可取值＋
），如果满足：①μ(═)＝0(═是空集)，② 对任何有限个互不相交的An∈φ(n=1，2，…，K)都成立
则称μ为φ上的有限可加测度。例如，设{μn}是定义在φ上的一列测度，并且对任何A∈φ，{μn(A}收敛。记
显然μ 是φ上的有限可加测度，但未必是φ上的测度。下面的定理是重要的：设 μ是φ上有限可加测度，并且对任何A∈φ，μ（A）
。如果对φ中任何序列{An}，当A1叾A2叾…，且
时，都有
则μ必是φ上的测度。带符号测度 也称为广义测度。设μ是定义在 φ上的集函数（可取无限大值，但±
中最多只有一个被取到，通常规定－ 不被取到），如果对任何一列互不相交的An∈φ， 有
则称μ为φ上可列可加的集函数。称φ上满足μ(═)=0 的可列可加集函数μ为φ上的带符号测度或广义测度。例如，设 ƒ(x)是直线上的L可积函数，对任何 A∈L令
由L积分的可列可加性便知μ0是L上的带符号测度。如果令ƒ+（x）=max（ƒ(x)，0），ƒ-(x)=max(-ƒ（x），0)，
那么 μ±均是 L上的测度， 并且
即 μ 0可以分解为两个测度之差。对带符号测度也成立这种分解（称为若尔当分解）。设 μ是Χ的σ环φ上的带符号测度，如果集E嶅Χ使得对任何A∈φ，A∩E∈φ并且μ（A∩E）是非正数(或非负数)，则称E为μ的负集(或正集)。这时，有哈恩分解定理:设μ是φ上带符号测度， 则必有μ的负集E，正集F使得E∩F＝═，并且E∪F=Χ。称如此的一对集 E、F为μ的哈恩分解。Χ对于（带符号测度）μ 的哈恩分解并不惟一，如果E1、F1及E2、F2是Χ对于μ的两个哈恩分解，根据哈恩分解定理，则对任何 A∈φ)，必有μ（A∩E1）＝μ（A∩E2），μ（A∩F1）＝μ（A∩F2）。据此令μ+（A）＝μ (F∩A)，μ-(A)=-μ(E∩A)，就得到带符号测度μ的若尔当分解定理：σ环φ上任何带符号测度μ必可分解成两个相互奇异测度之差：μ=μ +-μ -。这种分解是惟一的，通常分别称μ +，μ -及│μ│=μ ++μ -为μ的正变差测度，负变差测度及全变差测度。带符号测度的若尔当分解是有界变差函数的若尔当分解的推广。关于带符号测度的积分 带符号测度实质上是两个测度μ +、μ -之差。因此，在可测空间(Χ，φ)上有了带符号测度μ后就可定义关于μ的积分:设ƒ是E上的可测函数，如果ƒ对μ +，μ -都可积，就称ƒ关于μ可积，并称
为ƒ关于μ在E上的积分，记为
这种积分具有普通积分的性质。但需注意两点:第一， 由于μ未必是非负的，所以当ƒ≥0时未必
即失去通常积分的单调性，但成立 
第二，对带符号测度μ，命题P在E上关于μ几乎处处成立是指E 中使命题P不成立的点全体包含在某个│μ│零集中。测度的绝对连续性和拉东-尼科迪姆定理 为了推广微积分学中的牛顿-莱布尼茨公式，勒贝格积分理论中提出了绝对连续函数概念(见有界变差函数)。绝对连续函数及相应的微分与积分的互逆关系式在一般测度论中也被推广了。设(Χ，φ)是可测空间，μ、v都是φ上的带符号测度，如果任何|μ|零集E都是|v|零集，称v关于μ绝对连续，记为v<<μ，例如前述例子中的带符号测度μ0就是关于m 绝对连续的。拉东－尼科迪姆定理：设(Χ，φ，μ)是全σ有限测度空间，v是φ上带符号测度，并且v<<μ，则存在惟一的（最多除一个μ零集上有差别之外) X上可测函数ƒ，使得对任何
成立（这是牛顿-莱布尼茨公式的推广）。通常称ƒ是v关于μ的拉东-尼科迪姆导数，简称R-N导数，记为
R-N导数具有通常导数的某些性质。测度的奇异、等价和勒贝格分解 设(Χ，φ)是可测空间，φ)是σ代数，μ、v是φ上两个带符号测度，如果v<<μ，μ<<v同时成立，则称μ和v等价，记为μ～v。例如前述例子中，如果ƒ(x)处处不等于零，则μ0～m。如果存在可测集E，使得│v│(E)=│μ│（Χ\\E）=0，则称μ与v是奇异的，记为μ⊥v。例如若尔当分解中的μ +⊥μ -。类似于有界变差函数的勒贝格分解，有如下的分解定理:如果(Χ，φ)是可测空间，φ是σ代数，μ、v是φ上带符号测度，并且│μ│、│v│是全σ有限的，则有惟一的分解式
其中vc、vs都是φ上的测度并且
作为测度和积分的理论，上面所述的是一般集合上的测度和积分，就这一点讲，它是最广泛的理论。然而适应各方面需要，还有种种特殊的测度和积分，例如向量值函数积分，向量值测度及积分，群上的哈尔测度及积分（见群上调和分析），此外还有正处于研究中的无限维空间上泛函积分，取值于具某种拓扑结构半群上的积分、非交换积分等。