词条 | 函数构造论 |
释义 | hanshu gouzaolun 函数构造论(卷名:数学) constructive theory of functions 函数构造论中的主要研究课题,是由逼近论中正定理和逆定理两部分构成。所谓正定理就是从函数的结构性质(连续性、李普希茨条件、可微性等)来导出用n次多项式(或其他函数系)逼近函数时,其最佳逼近值(又称最佳逼近度)趋向于零的速度估计;所谓逆定理就是用n次多项式(或其他函数系)逼近函数时,从其最佳逼近值趋向于零的速度估计式来导出函数本身的结构性质。因此,研究函数的结构性质就可以化归为研究用多项式(或其他函数系)逼近时,其最佳逼近值趋向于零的速度。 设g(x)是以2π为周期的实轴上的连续函数,则用n次三角多项式逼近时的最佳逼近值E奱(g)定义为: ![]() ![]() 有关正定理的最早结果是由D.杰克森获得的。他得到 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 设ƒ(x)在[α,b]上有p阶连续导数,则对任意n>p,有 ![]() 此外,还可以用k 阶连续模 ![]() 对于逆定理,最早的结果是由С.Η.伯恩斯坦获得的。对于g∈C2π,若对任意n,满足 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 后来,Α.Ф.季曼得到改进的定理如下: 设ƒ ![]() ![]() 由此看出,在区间的两个端点处,逼近阶为 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 此外,对于 ![]() 从复数域的观点来看,正定理中逼近的阶是依赖于区间[α,b]上点的外角;在[α,b]的两个端点,外角为2π,因此逼近阶为 ![]() ![]() |
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