词条 | 高次代数方程求根 |
释义 | gɑoci daishu fangcheng qiugen 高次代数方程求根(卷名:数学) finding roots of polynomial equation 左边为多项式的方程 ![]() 代数基本定理说,复系数代数方程在复数域至少有一个根。如果x1是一个根,则Pn(x)一定可被(x-x1)所除尽,其商为(n-1)次多项式。如果n>1,其商至少又有一个根x2,它也是原来方程的一个根。因此n次代数方程总是有n个根x1,x2,…,xn,其中可能有相同的根,叫做重根。 二次方程可以用公式求根,公式内包含某数的平方根;标准三次方程也可以用公式求根,公式内包含三次根;标准四次方程的对应多项式可以分解成两个二次式的乘积,其系数在求出对应三次方程的一个根后也可用公式求出;五次及五次以上的代数方程一般不能用根式求解。 将超越方程ƒ(x)=0左端换成多项式Pn(x),超越方程就变成高次代数方程。因此超越方程求根的各种方法,例如割线法、牛顿法均可用于求高次代数方程的根(见超越方程数值解法)。下面是利用多项式性质的三种求根方法。 劈因子法 用x的二次式 ![]() r(x)=r1(x)+r2,因而有 Pn(x)=U(x)Q(x)+r(x)。 (1)设U(x)是一个近似二次因式,问题是怎样修改u1和u2使对应的余式更接近于零。为此,作线性近似,取 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 伯努利法 设E是使数列Fk的下标增加1的运算子,即 EFk=Fk+1,则齐次常系数线性差分方程 ![]() 给定 (F0,F1,…,Fn-1)的定值例如(0, 0,…,1)即可依次从(3)算出Fn,Fn+1,…。这样就定出差分方程的一个特解。 如果特征根各不相同,则差分方程的一般解是 ![]() ![]() ![]() 设方程的最大根是一对共轭复根: ![]() ![]() ![]() ![]() 劳思表格法 设给定代数方程 Pn(x)=0的系数都是实数,其中α0=1。劳思表格的计算方法如下: ![]() ![]() ![]() 设Pn(x)的劳思表格判明在右半平面上没有根,则在负实轴上选新原点-α 。选α充分大, 则在新原点的右半平面上有根,最大实部根的实部在(-α,0)区间内。用中点分割法可以求出最大实部根。 在高次代数方程求根的过程中,往往会遇到病态多项式,它的系数的微小变化会引起零点的很大变化。因此,在电子计算机上编制通用求根程序时,计算机运算必须按高精度进行,即至少用双倍精度进行。 若已求出多项式 Pn(x)的一个实零点或一对共轭复零点,就可以用综合除法将原多项式化成一低次的多项式,这样可以依次求出Pn(x)的n个零点。但是,降阶运算带来了误差积累。如果求根次序按模从大到小进行,则降阶过程中引入的误差对后面一些小根精度的影响可能是严重的;但如果按从小到大的次序进行,即使对于病态多项式,一般也不会影响后面求的根的精度。 参考书目 清华大学、北京大学《计算方法》编写组编:《计算方法》,上册,科学出版社,北京,1974。 |
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