词条 | 三体问题 |
释义 | santi wenti 三体问题(卷名:天文学) three-body problem 三个天体(质点)在万有引力作用下的运动问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。三体问题是一个古老而至今尚未完全解决的天体力学难题,到现在已有近三百年的历史,很多著名的数学家和力学家都作过研究,有关文献已超过千篇。由于没有得到三体问题的严格解,在研究具体天体运动时,都是根据实际情况求出各种近似解。在求解过程中提出研究三体问题的各种方法,从而推动三体问题理论的发展。 降阶和求积 设三个天体的质量为m1、m2、m3,它们的位置共有九个坐标,运动方程为九个二阶微分方程,共十八阶。很早以前,就得到了三体问题的十个首次积分,即三个动量积分、三个质心运动积分、三个动量矩积分(又称三个面积积分)和一个能量积分。由于三体问题中三个质点组成一个保守的力学系统,不受任何外力的作用,所以这些积分就是力学中动量守恒定理、质量中心运动定理、动量矩守恒定理和能量(机械能)守恒定律的体现。这十个首次积分都是变量(坐标及速度)和时间的代数函数,故称代数积分,又称经典积分。 利用十个经典积分以及消去自变量和交点经度的方法,可以把三体问题的十八阶微分方程组降低到六阶,这个工作是拉格朗日在1772年完成的。1843年,雅可比证明,对N体问题,如果除两个积分外都已找出,则这两个积分也就随之可以找出。二体问题为十二阶的方程,已知十个积分,还差两个,正好符合雅可比的条件,可以完全解出;而对三体问题,则还差八个积分,寻找新积分便成为解决三体问题的重要途径(见三体问题的积分)。 级数解法 运动方程暂时还无法积分,所以在研究具体问题时,往往根据太阳系天体运动的特点(太阳的质量比行星大得多),以二体问题为基础,讨论第三体对二体问题轨道的影响,从而建立带有小参数形式的三体问题运动方程。在讨论太阳和两个行星相互吸引的三体问题时,行星的质量m和m′就是小参数。以行星轨道要素(记为pi、qi)为变量的运动方程的解的形式为: , ,庞加莱证明:若在时间t=0,两个行星的轨道曲线不相交,则对于一定的m、m′值,存在一正值t0;当0<t<t0时,p、q按m、m ′的乘幂展开式是收敛的。这个t0值将随m、m ′的大小而定,m、m ′越小,则 t0越大。级数的系数为近点角的三角级数。 除了用三角级数来积分三体问题的方程外,直接用幂级数来求积分是另一个重要途径。要想得到三体问题的幂级数解,并且对时间t的任何值都收敛,则必然碰到一个困难:由于运动方程的右端函数的分母中含有三个天体之间的距离,当二体或三体碰撞时,就不再是正则函数。1912年,松德曼成功地克服了这一困难,他找到了一个正规化变量来代替时间t,而在三个面积积分常数不全为零的条件下,三个天体的坐标、相互距离以及时间都可展开为一个辅助变量的幂级数,它们对时间t的所有实数值都收敛。作为一个数学问题,在只考虑二体碰撞的情况下,可以得到三体问题的幂级数解。但是它收敛得非常慢,以致没有实用价值。贝洛里兹基将松德曼的结果应用于已知的拉格朗日等边三角形解(见平面圆型限制性三体问题),为了使t=1的计算值达到0.1的精度,级数至少要取1080000项!松德曼的结果虽然只是定性结论,但在理论上证明了三体问题幂级数解的存在性,还是有很大价值的。 研究特殊的三体问题和寻找特解 既然很难得到一般三体问题的解,不少人根据太阳系的实际情况,研究一种特殊的三体问题,并寻找它的特解。例如,讨论小行星或彗星在太阳和某个大行星吸引下的运动时,可以把小行星或彗星的质量看成无限小,从力学观点来说,就是忽略了小天体对太阳和大行星的吸引,这就构成了一个特殊的三体问题,它只讨论小天体在太阳和某个大行星吸引下的运动规律。这种三体问题称为限制性三体问题。 在研究限制性三体问题时,采用特殊的旋转坐标系,可以得到著名的雅可比积分、希尔曲面(即零速度面)和拉格朗日特解。这些结果对于研究小行星的运动特征、双星的运动、俘获理论以及月球火箭运动理论中都有重要的意义。由于限制性三体问题比一般三体问题简单,往往可以得到某些结果,然后再把这些结果推广到一般情况。例如,拉格朗日特解就是首先从圆型限制性三体问题得到的,后来再推广到一般三体问题;庞加莱关于三体问题不存在新的单值解析积分的证明,也是首先从平面圆型限制性三体问题进行探讨的。所以,研究特殊的三体问题和寻找它的特解,可为解决一般三体问题提供一些线索和方法。 寻找周期轨道 庞加莱提出的周期解理论是研究三体问题的一条重要途径。他提出三类周期解:当两行星相互间轨道的倾角为零、偏心率都很小时,称为第一类周期解;当两行星相互间的轨道倾角为零、而偏心率为有限值时,称为第二类周期解;当两行星相互间的轨道倾角不为零,偏心率为有限值时,称为第三类周期解。在第二类和第三类中还设两行星的平均运动角速度之比为简单分数,即可以通约的。对于第一类、第二类周期解,只要方程右端函数满足一些条件,周期解是存在的;第三类周期解尚未经过很好的研究。 定性方法 它不借助于具体的求解方法,而是采用定性理论来研究长时间内三体问题的运动特性、轨道在运动方程奇点附近的性质以及三体问题的运动全局性质(见天体力学定性理论)。 数值方法 用天体力学数值方法对运动微分方程直接积分是一条新的途径。早在十八世纪,就用数值方法研究过彗星的运动。到十九世纪,由于研究小行星运动,数值方法得到一定发展,只是由于计算工具落后,而未引起普遍重视。二十世纪五十年代以来,现代高速电子计算机的发展和广泛应用,为天体力学数值方法的发展提供了条件,一般具体的三体问题都用数值方法解决。 综上所述,研究三体问题的方法可分为三类,即分析方法、定性方法和数值方法。分析方法是把天体的坐标或轨道要素表示为时间的函数,而且展开成级数形式的近似分析表达式,这样可以比较方便地讨论天体的运动规律,但是由于级数收敛性的限制,往往只能适用于较短的时间间隔;定性方法是从运动方程出发来研究天体运动的全局特性,但它不便于实际应用;数值方法则是直接算出天体在某些时刻的具体位置,这对实际工作来说是有效的,但难以探求天体运动变化的规律。鉴于三类方法各有长处和不足之处,实际上往往同时采用几种方法来研究三体问题。 参考书目 D.Brouwer and G.M.Clemence, Methods of Celestial Mechanics,Academic Press,New York,1961. |
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