泛函数(卷名：数学)
functional
又称泛函，通常实（复）值函数概念的发展。通常的函数在 Rn或Cn（n是自然数）中的集合上定义。泛函数常在函数空间甚至抽象空间中的集合上定义，对集合中每个元素取对应值（实数或复数）。通俗地说，泛函数是以函数作为变元的函数。泛函数概念的产生与变分学问题的研究发展有密切关系。设Ω为Rn中的区域，Г1表示边界嬠Ω的片断，
表示一函数集合。考虑对应
，式中
F为具有2n+1个自变数的函数:
为寻求J(u)的局部极值，在一定条件下取J(u)的加托变分
如果在u=u0达到局部极值，则u0适合欧拉方程δJ(u)=0。在应用中，常以数学或物理的某个微分方程为背景产生一定泛函数，使原问题化成泛函数极值问题。当代分析学中，变分方法有广泛应用。一般把问题化成Tx=0的形式，即对应于某泛函数φ的欧拉方程，其中φ定义在一巴拿赫空间X中的开集S上且加托可微:
算子T 称为梯度算子，φ称为T 的场位。人们常遇到二阶微分系统，由此产生二次泛函数极值问题，是当代变分法常见的研究对象。泛函数φ:S嶅X→R（X 为拓扑空间）称为在x∈S处下半连续，如果对每个实数r<φx，有x的邻域U(x)，使得r<φz，凬z∈U(x)∩S。称φ在x∈S处下半序列连续，如果对每个序列
。其连续性及有界性如同对算子相应的性质所做的规定。设φ是定义在线性集合S上的实（复）值泛函数。如果φ(x+y)＝φ(x)+φ(y)，φ 称为加性的；如果φ（λx）=λφ(x)，λ∈R(C)称为齐性的；如果同时有加性及齐性称为线性的。当φ取实值时，加性得放松为次加性，其定义为：φ(x+y)≤φ(x)+φ(y)；齐性得放松为正齐性，其定义为：ƒ(λx)=λƒ(x)(λ≥0)；如果同时有次加性及齐性，则称φ具有次线性；如果对于λ∈(0，1)，有φ(λx+(1-λ)y)≤λφ(x)+(1-λ)φ(y)，则称φ为凸的;如果当x≠y时上式中的≤必为<，则称φ为严格凸的。在一些问题中，容许凸泛函数φ取值＋∞，但φ扝+∞，这时称φ为真凸的。此外，还有所谓凸集S上的拟凸泛函数φ：S嶅K→R（K为线性空间），使φ(tx+(1-t)y)≤max{φx，φy}，x，y∈S， t∈(0，1)。在赋范空间K中无界集S上定义的泛函数φ称为强制的，如果有函数с:(0，+∞)→R，с(t)→+∞(t→+∞)使得φ(z)≥с(‖z‖)，凬z∈S。
线性泛函数是线性算子理论研究的对象之一，也是研究空间性质及结构的工具。例如，局部凸拓扑线性空间K有对偶空间K
，K的元素就是定义在K上的连续线性泛函数。对K可赋予简单收敛拓扑或有界收敛拓扑。偶K、K间的关系对认识空间的性质和研究算子的性质都有基本意义。相应于多重线性算子有多重线性泛函数。例如，设K1、K2是同一数域上的线性空间，定义在积空间K1×K2上的映射φ:K1×K2→R（或C）称为双线性泛函数，如果K2(K1)中元素固定时φ成为K1(K2)上的线性泛函数。当K1=K2=K，K1及K2中取等同的x∈K，则得φ(x，x)，称为二次泛函数。对希尔伯特空间中线性算子谱理论的研究，双线性泛函数形式作为表示工具是方便的。二次泛函数在变分法中的应用更是为人熟知的。
拟赋范空间、局部凸拓扑线性空间、赋范空间等的表征主要在于分别在各空间上定义的次加性泛函数，即拟范数、半范数族、范数等。测度空间中的测度，即对应于某种集合的值也可理解为泛函数。对于给定函数的不定积分也可类似地看待。