费马数(卷名：数学)
Fermat numbers
形如
的数，n≥0。前五个费马数是F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537，均为素数。据此，1640年，法国数学家P.de费马猜想Fn均为素数，1732年，L.欧拉发现 F5=641×6700417，故费马猜想不真。到目前为止，只知道以上五个费马数是素数。此外，还证明了48个费马数是复合数。这些复合数可以分成三类：①当n=5，6，7时，得到了Fn的标准分解式；②当n=8，9，10，11，12，13，15，16，18，19，21，23，25，26，27，30，32，36，38，39，42，52，55，58，63，73，77，81，117，125，144，150，207，226，228，250，267，268，284，316，452，556，744，1945时，只知道Fn的部分素因数；③当n=14时，只知道F14是复合数，但是它们的任何真因数都不知道。因此，在费马数列中是否有无穷多个素数，或者是否有无穷多个复合数，都是未解决的问题。自从费马猜想被否定后，有人猜想费马数列中只有有限个素数，这一猜想也未解决。还有一个未能证明的猜想：费马数无平方因子。L.J.沃伦于1967年证明了：如果素数q满足q2｜Fn，则
费马数有一些简单的性质：如①当整数 k>0时，有
；②设 n>0，Fn 是素数的充分必要条件是
；③设 n>1，Fn的每一个素因数形如
。1801年，C.F.高斯证明了，当h＝
(0≤n1<n2<…<ns，s≥1)，Fnt(t=1，2，…，s)都是素数时，正h边形可用圆规和直尺来作图，可见费马数与平面几何的一些问题有联系。近年来，费马数在数字信号处理中得到应用。例如，费马数变换(FNT)，即以费马数给出的数论变换，在数论变换中最为有用。