词条 | 有限差分方法 |
释义 | youxian chafen fangfa 有限差分方法(卷名:力学) finite difference method 一种求偏微分(或常微分)方程和方程组定解问题的数值解的方法,简称差分方法。 微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关,在初始时刻所要满足的定解条件,称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题,称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题,称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题,称为初值边值混合问题。 定解问题往往不具有解析解,或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法,它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分,然后在网格点上,按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商,从而把原问题离散化为差分格式,进而求出数值解。此外,还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性),等等。 有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点,容易在计算机上实现。 偏微分方程初值问题的差分法 许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质:若初始时刻t=t0的解已给定,则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题,就是从初始值出发,通过差分格式沿时间增加的方向,逐步求出微分方程的近似解。 双曲型方程的差分方法 最简单的双曲型方程的初值问题是: ![]() u(x,t)=嫓(x-at)。 (2)由(2)可见,(1a)(1b)的解(2)当a>0时代表一个以有限的速度a沿特征线x-at=常数向右传播的波,而解u(x,t)在P(慜,慙)点的值完全由嫓(x)在x轴上的点A(慜-а慙,0)的值决定。A点就是双曲型方程(1a)在P点的依赖域(图1)。现以初值问题(1)为例介绍初值问题差分方法的基本思想。 ![]() ①剖分网格 用网格覆盖(1a),(1b)的定解区域,如图2所示,在x,t平面的上半部作两族平行于坐标轴的直线: x=xj=jΔx, j=0,±1,±2,… t=tn=nΔt, n=0,1,2,…并称之为网格线。Δx,Δt分别称为空间步长和时间步长。网格线的交点(jΔx,nΔt)称为格点。 ②建立差分格式 以下除特别声明外,总设a>0,由泰勒公式,有: ![]() ![]() ![]() ![]() -1<θ2<0 (3b) 解出 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() u ![]() ![]() ![]() ③差分格式的截断误差和相容性 (5)中的E ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ④差分格式的收敛性 设P(慜,慙)是求解区域中的一点,取步长Δx,Δt使慜=jΔx,慙=nΔt,用差分格式算出u ![]() ![]() ![]() 双曲型微分方程的解,对求解区域内一点(慜,慙)而言,在初值区域内有一个依赖域,差分方程也是如此,对于差分方程(6),点(jΔx,nΔt)的依赖域是初值线上区间[(j-n)Δx,jΔx]。如令Δt/Δx=r=常数,慜=jΔx,慙=nΔt,则差分方程(6)在点(慜,慙)的依赖域为[慜-a慙/r,慜],并且步长比r固定时,依赖域与Δx,Δt无关。 差分方程(9)在(慜,慙)的依赖域是[慜-a慙/r,慜+a慙/r],而差分方程(11)的依赖域则是[慜,慜+│a│慙/r],R.库朗等人曾经证明,差分格式收敛的一个必要条件是差分方程的依赖域应包含微分方程的依赖域,这个条件叫作“库朗条件”。从图3中可以看到,对于差分方程(6),这个条件是慜-a慙/r≤慜-a慙≤慜,即 ![]() ![]() 慜≤慜-a慙≤慜+│a│慙/r;在a>0时,显然不能成立,所以格式(11)当a>0时不收敛, 因而也是无用的。格式(6)a>0在而库朗条件 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 如果a<0,格式(6)不收敛。但当 ![]() ![]() ![]() ⑤差分格式的稳定性 用一个差分格式计算 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 对于线性偏微分方程组的稳定性理论,J.von诺伊曼曾用傅里叶分析作了系统研究,把差分方程的解表成谐波的叠加,考察其中一个谐波 ![]() ![]() ![]() ![]() 相容性和库朗条件都不能保证稳定性,例如对格式(9),把(12)代入,得: ![]() ![]() P.D.拉克斯1956年曾证明:对于线性偏微分方程组的适定的初值问题,一个与之相容的线性差分格式是收敛的格式的充分必要条件是这格式的稳定性。 非线性问题没有相应的等价定理。 抛物型方程的差分方法 抛物型方程的定解问题是初值问题或初值边值问题。为了说明抛物型方程差分方法的某些特点,考虑热传导方程的初值、边值问题: ![]() x=xj=jΔx, j=0,1,…,Μ, t=tn=nΔt, n=0,1,2,…,N(=T/Δt),剖分求解区域为矩形网格(见图4),式中Δx=1/Μ,Μ为正整数。利用数值微分公式: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 用消去法可导出如下两套递推公式: ![]() ![]() ![]() 偏微分方程边值问题的差分法 物理上的定常问题,如弹性力学中的平衡问题, 亚声速流、 不可压粘性流、电磁场及引力场等可归结为椭圆型方程。其定解问题为各种边值问题, 即要求解在某个区域D内满足微分方程,在边界上满足给定的边界条件。椭圆型方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格,建立差分格式,求解代数方程组以及考察差分格式的收敛性等问题。 泊松方程是椭圆型方程的典型例子,它的第一边值问题为: ![]() 通常可将定解区域剖分成矩形网格或三角形网格。三角形网格对不规则区域较为方便。 为简便起见,设D为单位正方形,x 和y方向均取为等距步长h,并用直线xi=ih,yj=jh(i,j=0,1,2,…,N)将此正方形D={0≤x≤y≤1}剖分成正方形网格。 ![]() 在格点(i,j)上,微商uxx、uyy分别用x、y方向的二阶中心差商来代替,得到差分格式: ![]() ![]() u=(u1,1,u1,2,…,u ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 偏微分方程边值问题的差分方程组的特点是系数矩阵中非零元素很少,即是稀疏矩阵。近年来由于稀疏矩阵技术的发展,解差分方程组时,直接法受到了较多的重视。迭代法是用逐次逼近的方式得到差分方程组的解,它的存储量小,程序简单,因此常用于椭圆型差分方程组的求解。迭代方法很多,最基本的有三种: ①同时位移法(也称雅可比法): ![]() n代表迭代的次数。 ②逐个位移法(也称赛德耳法): ![]() 当 ![]() ![]() ![]() ③松弛法: ![]() 当 ![]() ![]() ![]() ![]() 差分方法的发展和应用 前面阐述了两个自变量,线性方程的差分法。实际问题常会遇到多个自变量,非线性的方程或方程组;它们还可能是混合型的偏微分方程(如机翼的跨声速绕流),其解包含着各种间断(如激波间断、按触间断等)。非线性问题的差分法求解是十分困难的。随着电子计算机的发展,在解决各种非线性问题中,差分法得到了很快的发展,并且出现了许多新的思想和方法,如守恒差分格式,时间相关法、分步法等。 守恒差分格式 数学物理偏微分方程通常代表某种物理、力学中的守恒律(如质量守恒、动量守恒、能量守恒、粒子守恒等)。原始问题的差分格式,若能保持同样的守恒性质,就称为守恒差分格式。守恒性反映出物理问题的整体性质,用它来检验差分格式的好坏是合理的。对于间断的问题,守恒格式特别重要。从积分守恒关系式出发,利用积分插值方法容易得到守恒格式。这时对于复杂的求解区域、各种类型边界条件、间断系数等复杂情况都可以处理。 时间相关法 把定常的微分问题用一个相应的非定常问题来代替,然后用差分法解后者的初值问题,要求当t→∞时,它的稳定解为原来问题的解,这类方法叫作时间相关法。实践上,当计算时间足够大时,就能得到满足给定精度的近似解。例如拉普拉斯方程第一边值问题: ![]() ![]() 分步法 把复杂的问题的每一时间步分解成几个中间步,例如把多维问题按坐标分解为几个一维问题,然后用差分法解这些比较简单的各中间步,最后得到原始问题的近似解,这类方法叫作分步法。交替方向法、预估-修正法、时间分裂法、因式分解法等都属此类。以二维抛物型方程定解问题: ![]() ![]() ![]() 有限差分方法已成为解各类数学物理问题的主要数值方法,也是计算力学中的主要数值方法之一。有些解偏微分问题的方法(如特征线法、直线法)实质上也是差分方法的一种形式。在固体力学中,有限元方法出现以前,主要采取差分方法;在流体力学中,差分方法仍然是主要的数值方法。当然,对于某些具有复杂的几何形状及复杂的流动现象的实际问题,差分方法还有待进一步发展。 参考书目 冯康等编:《数值计算方法》,国防工业出版社,北京,1978。 胡祖炽编:《计算方法》,高等教育出版社,北京,1959。 清华大学、北京大学《计算方法》编写组编:《计算方法》,科学出版社,北京,1980。 朱幼兰等著:《初边值问题差分法及绕流》,科学出版社,北京,1980。 R.D.里奇特迈尔著,何旭初等译:《初值问题差分方法》, 科学出版社, 北京, 1966。 (R.D.Richtmyer,Difference Methods for Initial-Value Problems, Interscience Pub., New York,1957.) R.D.Richtmyer, K.W.Morton, Difference Methods for Initial-Value Problems, 2nd ed.,Interscience Pub.,New York,1967. |
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