分支过程(卷名：数学)
branching process
一种特殊的随机过程，它是一组粒子的分裂或灭亡过程的数学模型。例如，某种生物群中，每一母体（粒子）生育第二代（或不生育），第二代中每一母体又生育第三代……。以Zn表示此群体中第n代的个体数，{Zn，n=0，1，2，…}便是一分支过程。又如，原子反应中的中子数也构成分支过程。以下设Z0=1，见
。离散时间的分支过程 设时间参数为n＝0，1，2，…，在分支过程理论中起重要作用的是分裂概率pk，它是任何一代的一个粒子分裂为 k个的概率(k=0，1，2，…)。其母函数（见概率分布）记为
。假设各个粒子的分裂是独立进行的，这种分支过程{Zn}通常称为高尔顿－沃森过程（简称G-W过程），它是一个马尔可夫链（见马尔可夫过程）。利用g(s)可求出有关{Zn}的下列诸量。若已知第n代的粒子数
，则下一代粒子数Zn+1=j的转移概率为
中sj的系数。以gn(s)表Zn的母函数:
。由于Z0=1，g0(s)=s；
从而可求出
中si的系数。Zn的均值EZn=mn，其中m=EZ1=g′(1)。关于Zn的极限性质有：
通常还关心群体是否会绝种的问题。设 0<p0<p0+p1<1。以q表灭绝概率，即
。可以证明q是方程g(s)=s (0≤s≤1)的最小根。又 q=1，若 m≤1；q<1，若 m>1，这时还有
，亦即粒子有无限增多的危险。G-W过程的一般化 设有m（≥2）种不同的粒子A1，A2，…Am，以
表第n代（或时刻n）的第k种粒子的个数，k=1，2，…，m，则
构成取值于m维格子点空间的马尔可夫链。称{Zn，n=0，1，2，…}为多种类G-W 过程。以
表Al中一个粒子分裂为Ak中jk个粒子(k=1，2，…，m)的概率。与上述g相仿，引进
，可以类似地研究 {Zn}的转移概率、Zn的分布以及第l种粒子灭绝的概率ql等等。连续时间分支过程 设时间参数 t≥0连续，b(t)Δt表示在短时间(t，t+Δt)中发生一次分裂的概率，pk(t)表示一个粒子分裂为k个的概率(k =0，1，2，…)。若b(t)、pk(t)连续，b(t)>0，
，则在时刻t的粒子数Z(t)构成一连续时间马尔可夫链，于是可利用后者的理论来研究{Z(t)}。若 b(t)，pk(t)不依赖于t，则{Z(t)}是齐次的马尔可夫链，这时可以得到许多类似于对 G-W 过程所得到的结果。参考书目
T. E.Harris，The Theory of Branching Processes，Springer-Verlag，Berlin，1965.
K.B.Ashreya and P.E.Ney，Branching Processes，Springer-Verlag，Berlin，1972.