词条 | 类域论 |
释义 | leiyulun 类域论(卷名:数学) class field theory 研究数域上阿贝尔扩张的理论。它的基本思想是用基域的算术性质去刻画它上面的阿贝尔扩张。设 k是一数域,I是k的一切非零的分式理想构成的乘法群,I也记作l(k)。对于k上的任一阿贝尔扩张K,存在I的一个狭义子群h与K对应,使得k的每个素理想P在K中分裂的充分必要条件是P属于h。 D.希尔伯特于1898年至1899年间作了如下的猜想:设Ck是k的理想类群,于是存在一个惟一的阿贝尔扩张K/k适合下列条件:①K/k的伽罗瓦群G(K/k)≌Ck;②k中每个素理想在K中非分歧;③设k的素理想P在Ck中所代表的类的阶为ƒ。则ƒ|hk, hk=|Ck|。令hk=g·ƒ,于是P在K中分解成g个不同的素因子的积,它们对P的公共剩余次数为ƒ。 希尔伯特就hk=2的情形给出了证明,以他的洞察力对一般情况作了如上的猜想。P.H.富特文格勒于1907年证明了如上的猜想。这个K/k被称为希尔伯特类域。 在推广希尔伯特类域的道路上,H.韦伯做了一步重要的准备工作,他在他的著作《代数学教程》第3卷中推广了理想类群的概念。k的每个素理想P决定一类互相等价的P进赋值,这个等价类称为k的一个有限素点,仍用P表示。此外,k还有r1个到实数域R的实嵌入σ1,σ2,…,σr1和r2对到复数域C的共轭的复嵌入 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 每个整除子 M如下定义I(k)的一个模M的束子群:元素α∈k*(k*=k-{0})称为满足下列乘法同余式(*)α呏1(mod×M),是指①将理想(α-1)/M0表成互素整理想的商U/ ![]() ![]() ![]() 用I ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 高木贞治在1920年发表的文章中,应用H.韦伯的理想类群,成功地推广了希尔伯特的结果,并且建立了完整的类域论。设K/k为数域k 上一个n 次伽罗瓦群扩张,G为它的伽罗瓦群。k的一个有限素点P称为在K 中分歧,是指素理想P在K 中分歧;k的一个实素点P∞称为在K中分歧,是指与P∞对应的k 的实嵌入σ 在K上的每个开拓都是复嵌入。对于任一σ∈G 和K 的任一分式理想U,令 ![]() ![]() ![]() ![]() ① 基本定理 设K/k为数域k上一n次阿贝尔扩张,则存在k的一个整除子M,仅含在K内分歧的素点(有限或无限)作为素因子,使得理想群h = ![]() ![]() ![]() ![]() ② 分歧定理 设(h)的导子为F,则K的一个素点P在K内分歧的充分必要条件是P|F。 ③ 同构定理 K/k的伽罗瓦群与I ![]() ④ 分解定理 设P为k的与F互素的任一素理想;设hF∈(h)为由F 规定的理想群;设ƒ 是最小正整数使得Pƒ∈hF,则P在K 中分解成 ![]() ⑤ 存在定理 设h 为k的任一理想群,由整除子M所规定,指数(I ![]() ![]() ![]() ![]() 于是,在k上有限阿贝尔扩张K/k和k的理想群(等价类)之间建立了一个一一对应。K/k 称为对应于h 的类域,同时h 称为对应于K/k的类群。(h)的导子称为K/k的导子。 E.阿廷于1927年证明了著名的一般互反律,设K/k为数域k上一个n次阿贝尔扩张,G(K/k)为它的伽罗瓦群,O为K 的整数环。设P为k的任一个在K 中不分歧的素理想,Z为P在K 中的一个素因子B的分解群,Z 包含一个对应于B的弗罗贝尼乌斯置换σ 使得 ασ呏α ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 阿廷互反律 设K/k为数域k上一个n次阿贝尔扩张,δ 为它的判别式, Iδ 的定义如前,则有:① 阿廷映射 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 同构定理和分解定理是阿廷互反律的直接推论。 除了存在定理⑤以外,还有一个具有给定的局部性质的有限阿贝尔扩张存在的定理,就是1932年发表的格鲁恩瓦尔德定理。王湘浩于1948年发现该定理包含的错误,并于1950年给出了正确的更一般的陈述和证明。从此以后人们称之为格鲁恩瓦尔德-王定理。它是著名定理“数域上中心单(结合)代数为循环代数”成立的主要根据之一。 有理数域Q上的分圆域是类域的一个雏形。设K=Q(ζ)为 m(m>1)分圆域,ζ为一个m 次本原单位根,当m为偶数时,假定4│m。此时K是Q上φ(m)次阿贝尔扩张,它的伽罗瓦群 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() C.谢瓦莱于20世纪30年代末引进了伊代尔 (idele)概念以替代理想概念,从而将有限阿贝尔扩张的阿廷映射推广到任意(有限或无限)阿贝尔扩张上去。对于数域k的每个素点P,有一个局部域 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 自从H.哈塞利用局部域上的布饶尔群以建立局部类域论以来,人们逐步认识到群的上同调理论和类域论之间的联系,经过许多人的努力,应用群的上同调理论,对类域论作了系统处理。首先建立局部类域论,然后由局部类域论组织成整体类域论。设K/k为数域k上任一有限阿贝尔扩张,G为它的伽罗瓦群。对k的每个素点P,取定K的一个素点B使得B|P。K ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 应当指出,数域上的类域论可以平行地推广到有限常数域上一元代数函数域上去。 阿廷在他与J.T.塔特合写的类域论(1951~1952)的讲稿中提出了类结构的概念,将局部的和整体的、数域的和代数函数域的类域论纳入同一个公理化体系中。 参考书目 E.Artin,Algebraic Numbers and Algebraic Func-tions,Gordon and Breach, New York, 1967. E.Artin and J.Tate,ed.,Class Field Theory,Benjamin, New York, 1967. A.Weil,basic Number Theory,3rd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1967. |
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