向量值积分(卷名：数学)
vector value integration
普通（数值的）积分在向量值上的推广。在分析数学的各分支中，因不同的要求，需要种种或是向量值函数的积分或是关于向量值测度的积分。向量值函数的积分有黎曼-斯蒂尔杰斯型积分和勒贝格型积分。
黎曼－斯蒂尔杰斯型积分 常用的一种向量值积分。如果ƒ（t）是定义在［α，b］上，但取“值”于拓扑线性空间L的函数，则称ƒ(t)是［α，b］上向量值函数。设ƒ(t)和g(t)分别是［α，b］上向量值和数值函数。任取[α，b]上分点组D：
，作和式
其中
令
如果极限
存在，则称ƒ关于g在[α，b]上R-S可积，又称
是ƒ关于g的黎曼-斯蒂尔杰斯积分，简称R-S积分，记为
。类似地，也可以引入
。向量值R－S积分有许多类似于数值函数的R-S积分的性质。特别，有分部积分公式：如果
中有一个存在，则另一个必存在，且
。下面几种向量值积分都属于勒贝格型的。
博赫纳积分 设(x，φ，μ)是全σ有限测度空间（见测度论），φ(x)是定义在x上，取值于巴拿赫空间B的向量值函数。如果存在 (x，φ)的有限个互不相交的可测集A1， A2， …，An，使φ在Ai(i=1，2，…，n)上的值恒为向量ei，而
上的值恒为0，则称φ是(向量值)简单函数。如果存在 x上的一列简单函数 {φn(x)}，使得‖φn(x)-ƒ(x)‖关于μ几乎处处收敛于0，则称ƒ(x)是x上（取值于B）的强可测函数。强可测函数 ƒ(x)的范数‖ƒ(x)‖必是x上的（数值）可测函数。如果φ是简单函数并且μ(Ai)<∞，那么称
是φ的博赫纳积分，记为
。设ƒ(x)是x上向量值函数，如果存在一个可积的简单函数列{φn}，使得
，就称ƒ是x上博赫纳可积的，并称
是ƒ在x上的博赫纳积分，记为
，可以证明：对于博赫纳可积函数ƒ，它的积分值(是向量)不依赖于{φn}的选取;ƒ在x上是博赫纳可积的，当且仅当ƒ是强可测的而且‖ƒ(x)‖是 x上的数值可积函数。博赫纳积分具有一般测度论中积分的性质。伯克霍夫积分 设(x，φ，μ)是全σ有限测度空间，{Ai}是x的一列互不相交的可测集，
并且
，称{Ai}是x的可列剖分。设ƒ(x)是x上取值于巴拿赫空间B的向量值函数，墹={Ai}是x的可列剖分，如果ƒ在每个Ai上有界，并且
是无条件收敛的，则称集
的凸闭包是ƒ(x)关于墹的积分值域，记为J(ƒ，墹)。如果对任何ε>0，存在可列剖分墹(ε)，使集J(ƒ，墹(ε))的直径小于ε，则称ƒ在x上伯克霍夫可积，并称由一切可列剖分墹所得的J(ƒ，墹)的交集(只有一个向量)为ƒ 在x上的伯克霍夫积分，记为
。这种积分除富比尼定理外，具有通常勒贝格积分所具有的线性、可列可加性、绝对连续性等性质。博赫纳可积必然伯克霍夫可积（逆命题并不成立），并且两个积分相等。更一般地，还可定义取值于具有某种拓扑结构半群上的积分，当取不同拓扑时，它可包含伯克霍夫积分和下面的积分。
盖尔范德意义下的弱*积分 设(x，φ，μ)是全σ有限测度空间，ƒ(x)是定义在x上取值于巴拿赫空间B的向量值函数。如果对每个g∈B*(B*是B的共轭空间)，g(ƒ(x))是可测函数，则称ƒ(x)在x上是弱可测的。在空间B是可分情况下，弱可测和强可测一致。如果对每个
在x上是可积的，则必存在ƒ**∈B，使得
，称ƒ **是ƒ(x)在 X上的盖尔范德意义下的弱*积分，记为
。佩蒂斯积分 或称弱积分。另一种常用的向量值积分。设(x，φ，μ)是全 σ有限测度空间，ƒ(x)是x上取值于巴拿赫空间B的弱可测函数，如果存在b)∈B 使得对一切g∈B*成立
，则称ƒ在x上是佩蒂斯可积的，b)是ƒ的佩蒂斯积分，记b)为
。博赫纳可积必然佩蒂斯可积，并且积分相等。除去富比尼定理外，勒贝格积分的其他性质对于佩蒂斯积分也成立。向量值测度和积分 设(x，φ)是可测空间，如果E是定义在φ上取值于巴拿赫空间 B的满足下列条件的向量值集函数：①E(═)=0（═是空集）；②可列可加性，对φ中任何一列互不相交的集{Ai}，
则称E 是φ上向量值测度。例如，如果(x，φ，μ)是全σ有限测度空间，ƒ是x上取值于巴拿赫空间B的博赫纳可积函数，对任何A∈φ，定义
，则E便是φ上取值于B的向量值测度。特别，当B是某个巴拿赫空间（或希尔伯特空间）上的有界线性算子全体按算子范数所成的巴拿赫空间时，就称E为φ上的算子值测度（见谱论、谱算子）。此外，和数值测度一样，也可引入一个向量值测度关于另一个数值测度绝对连续的概念。但一般说来没有拉东-尼科迪姆定理。但如果空间B或是自反，或是希尔伯特空间，或B的共轭空间B*是可分的，这时就有拉东-尼科迪姆定理。（见测度论）